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내 아이와 함께한 수학 일기
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638쪽 | A5
ISBN-10 : 8963720705
ISBN-13 : 9788963720708
내 아이와 함께한 수학 일기 [양장] 중고
저자 알렉산더 즈본킨 | 역자 박병하 | 출판사 양철북
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2012년 11월 2일 출간
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20200524

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774 책의 상태가 양호합니다. 5점 만점에 5점 hsongk*** 2020.09.19
773 김사합니다 수고하세요 5점 만점에 5점 ggoodd*** 2020.09.18
772 제가 지방에 거주하는데, 중고책 주문 후 다음날 받아보긴 처음이네요. 배송과 포장에 신경써주셔서 감사합니다. 아, 그리고 소독해주셔서 넘 좋네요. 잘 읽겠습니다~~ 5점 만점에 5점 hoon3*** 2020.09.12
771 너무깨끗해여!!! 배송도 나름 빠르고 ㅠㅠㅠ 5점 만점에 5점 nmj9*** 2020.09.10
770 감사합니다 수고하세요 5점 만점에 5점 ggoodd*** 2020.09.09

이 책의 시리즈

책 소개

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호기심 많은 꼬마들과 아빠의 엎치락뒤치락 좌충우돌 수학 수업! 아빠와 아이들이 함께 한 세상에서 하나뿐인 수학 수업의 기록을 담은 『내 아이와 함께한 수학 일기』. 수학자인 아빠가 매주 시간을 정해서 몇 년 동안 아이들과 수학을 한 기록을 담은 책이다. 저자의 아들 지마와 딸 줴냐, 이 아이들의 어린 시절을 이야기하며 단순한 육아 일기기 아닌 수학 동아리 일기를 담고 있다. 고민과 탐구, 몇 년에 걸친 실천과정이 고스란히 담겨 있어 이를 통해 어린이 교육을 어떻게 봐야 할지에 대해 생각할 거리를 제공하고 격동기 러시아 사회의 모습까지 엿볼 수 있다.

지마가 생후 3년 10개월이 되었을 째 저자가 지마의 동네 또래 친구 셋을 모이게 해 만든 수학 동아리에서 풀어본 문제와 함께 그 문제에 대해 아이들이 어떻게 반응 했는지, 무엇을 이해하고 무엇을 이해하지 못했는지, 어떤 어려움이 있었는지까지 자세하게 담았다. 심리학 연구 논문에서부터 유명한 대중 수학서들, 친구들과 나눈 대화까지 다양한 출처에서 인용한 문제들로 구성되어 있다.

저자소개

저자 : 알렉산더 즈본킨
저자 알렉산더 즈본킨(Alexander Zvonkin)은 모스크바 국립대학 산하 콜모고로프 수학물리 고등학교(러시아 수학과학 영재학교로 명성이 높은 학교이다. 429쪽에 있는 옮긴이의 글에도 이 학교에 대한 설명이 나온다.)와 모스크바 국립대학 수학부를 졸업했다. 소련 개방기에는 과학학술원 소속 연구위원회에서 연구원으로 근무했다. 지금은 프랑스 보르도 대학에서 컴퓨터 사이언스 교수로 재직 중이다. 저자의 수업은 책으로 나오기도 전에 이미 러시아 여러 분야의 연구자들에게 열렬한 호응을 얻었다. 저자의 논문, 수업 활동들이 소문나면서 언어심리학자, 교육자, 컴퓨터공학자, 취학 전 부모를 위한 교육 종사자, 러시아 수학 교육 과정 개혁을 추진한 교육학자 들에게 “유아 수학 교육의 고전이라 불릴만하다”는 평을 받게 된다. 많은 저널과 논문, 책 등에 사례가 인용되었고, 이 수업이 영감이 되어 다양한 수학 교육 실험이 계속되고 관련 책들이 발간되었다. 그 일이 계기가 되어 즈본킨은 프랑스 보르도 대학에 교수로 재직하게 된다. 수학 동아리를 함께 했던 아들 지마는 현재 프랑스 파리6대학의 수학과 연구교수로, 딸 줴냐는 파리8대학의 영화학과 조교수로 일하고 있다.

역자 : 박병하
역자 박병하는 연세대 경영학과 졸업. 수학 언어와 러시아어를 배우고 싶어 유학길에 올랐다. 모스크바 국립대학 수학부 수리논리학과에서 공부하고 2003년 여름 박사 학위를 받았다. 뒤늦게 시작한 수학 공부를 계속하며 수학 교사와 함께 공부 모임을 하고 수학 고전 읽기를 한다. 아르키메데스 저술을 번역(미출간)했고 수학 교양서 《수학 읽는 CEO》(21세기북스)를 썼다. 몇 년 째 비정기로 아이들과 아침부터 밤까지 수학하기에 몰입하는 캠프를 한다. 그 결실 중 하나로 《중학수학, 처음부터 이렇게 배웠더라면》(행성:B)을 썼다. 캠프 내용을 정리한 동영상을 올리고 있고 ‘내가 그렇게 배웠더라면 좋았을 수학’을 준비하고 있다.

목차

한국의 독자들에게

제0장 시작하기 전에
이 책은 어떤 책일까?
동아리는 왜 필요한가?
일기는 왜 필요한가?
초심자, 유아 수학에 대해 사색하다
우리 동아리 활동의 짧은 역사
알아두기

제1장 첫 수업과 이런저런 생각
어떻게 하게 되었나
피아제 현상 : 실제냐 눈속임이냐?
심리학 책을 읽는 효용에 대해
이론을 대하는 방법

제2장 남자아이들 동아리 ─ 첫 해
수업 21. 뫼비우스의 띠
수업 22. 전체가 더 많을까, 부분이 더 많을까?
수업 23. 하노이 탑
수업 24. 위상수학 맛보기
수업 25. 승강기를 탄 아이
수업 26. 공통 요소가 있는 분류
수업 27. 모자이크 판에 사각형 만들기
수업 28. 확률 이론 시작
수업 29. 엉망진창
수업 30. 물 옮겨 담기
수업 31. 다시 확률 이론
수업 32. 졸업장

제3장 아이들 그리고 : 한 문제에 얽힌 이야기
조합
같은 문제를 변형하기
기호로 표시하시오
증명
물리학과 논리학

제4장 남자아이들 동아리 ─ 둘째 해
수업 33. 닮음
수업 34. 밋밋한 날
수업 35. 확률 대략 계산하기
수업 36. 주사위 3개로 놀이하기
수업 37. 직각사각형은 몇 개?
수업 38. 뭘 해도 안 돼
수업 39. 추락 다음 비상
프로그래밍 언어 ‘어린이’
수업 40. 디에네시 조각 등장하다
수업 41. 또다시 : 디에네시 조각과 로봇
수업 42. 눈송이
수업 43. 덧셈에 대한 몇 가지 성질
수업 44. 마방진
수업 45. 일반화된 사슬
수업 46. 겉모양만 다른 문제들
수업 47. 5C2에 대한 이야기를 마침
수업 48. 참인 명제와 거짓인 명제
프로그래밍 조금─지마와 단 둘이서
수업 49. 기호에 대해 생각하다
수업 50. 두 기념일이 겹친 날
수업 51. 어느 쪽이 더 길까?
수업 52. 암호 해독
수업 53. 가계도
수업 54. 학년을 마치다

제5장 단순한 것과 복잡한 것 : 기호, 추상화, 수학, 언어에 대하여
낱말에 맞는 기호
‘단순하게 만든’ 기호
한 사람 안에 여러 지능이 있다
말하기를 가르치듯 수학을 가르치기

제6장 남자아이들 동아리 ─ 셋째 해
수업 55. 논리 문제
수업 56. 건축가 놀이
수업 57. 그륵지와 소뷰나 중 누가 더 으어기할까?
수업 58. 방 설계하기
오랜 휴식기
수업 59. 다른 사람은 무엇을 볼까?
수업 60. 상대방은 무엇을 보고 있을까?
수업 61. 안 보이는 수를 어떻게 더할까?
수업 62. 어떤 방이 더 클까?
수업 63. 우연 대 이성
수업 64. 다시 우연과 겨루다
수업 65. 위상 동형
수업 66. 토폴로지
수업 67. 4색 문제
농담, 대화, 문제
우리가 나눈 수다
다시 수학 이야기

제7장 남자아이들 동아리 ─ 마지막 6개월
수업 68. 달력 수수께끼
수업 69. 말로 많이 묻기
수업 70. 다시 프로그래밍
수업 71. 학교식 문제들…… 거의 그런
수업 72. 부프로그램
수업 73. 홀수와 제곱수
수업 74. 수의 기하학
수업 75. 마야 인디언
수업 76. 모든 건 언젠가 끝난다
결론

제8장 학교에서 집에서
수학 이야기 모음
1학년 수학 동아리

제9장 여자아이들 동아리 ─ 첫 해
서문
수업 1. 다시 피아제 현상
수업 2. 왕자와 공주
수업 3. 차이는 몇 가지?
수업 4. 그림 따라 조각 맞추기
수업 5. 자리 바꾸기
수업 6. 아침에 일어나서 할 일 순서 정하기
수업 7. 놀이가 학문을 이긴다
수업 8. 두 거울 사이에서
수업 9. 마당에서
수업 10. 두 색 큐빅 세우기
수업 11. 참 잘했어요

제10장 여자아이들과의 동아리 ─ 둘째 해
수업 12. 무언가 이상하게 된 확률 공부
수업 13. 다시 교집합에 대해
수업 14. 하노이 탑
수업 15. 같은 높이로 탑 쌓기
수업 16. 90도 회전
수업 17. 눈송이
수업 18. 큐빅의 면, 꼭짓점, 모서리
수업 19. 늑대, 염소, 배추
수업 20. 특성이 하나씩 다르게 잇기

이것은 에필로그가 아니다

감사의 글
옮긴이 글

책 속으로

1) 우리 공부 동아리의 목표와 의미는 무엇일까? 우리가 함께 공부하는 의미는 공부한다는 자체에 있다. 재미있었으면 하는 데 있다. 질문을 던지고 거기에 맞는 답을 찾아보는 데 있다. 크게 봐서, 삶이란 그런 거니까. ─ 69~70쪽 2) 아이...

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1) 우리 공부 동아리의 목표와 의미는 무엇일까? 우리가 함께 공부하는 의미는 공부한다는 자체에 있다. 재미있었으면 하는 데 있다. 질문을 던지고 거기에 맞는 답을 찾아보는 데 있다. 크게 봐서, 삶이란 그런 거니까. ─ 69~70쪽

2) 아이들과 ‘내용이 있는’ 교감을 나누는 순간들, 다시 말해 무엇이든 의미 있는 일에 함께 참여하는 순간들은 지극히 드물다. 그렇게 하는 게 얼마나 소중하고 어떤 기준으로 재든 그 가치는 결코 사라지지 않는데도 말이다. 줴냐와 함께하면서 우리에게 일어났던 게 바로 이것이다. 줴냐는 환희에 차서 동아리 활동을 했다. 그건 수학 때문이 아니었다. 그건 아빠가 시간과 관심을 자기와 나누고 있고, 자신과 함께 공부한다는 것이었다. 그것도 예전에 오빠와 함께했던 그것, 무엇인지 모르지만 심각한 것에 대해서 말이다. ─ 511쪽

3) 내가 가장 바라는 것은, 시간이 흘러 이 아이들 가운데 누군가가 문득 자기 스스로 성냥개비로 우물을 만들어보고 성냥개비가 몇 개나 되나 세어보는 것이다. 그냥 궁금해서, 그냥 정말로 몇 개인지 알고 싶어서 말이다. 별것 아닌 것 같지만 이것이야말로 독자적인 연구 아니겠는가! 어쨌든 나는 그저 “정말 재미있네!”, “훌륭한걸!” 같은 말로 환기시킬 뿐이다. 이 상황이 아이들의 기억 속에 더 굳게 박힐 수 있길 기대하면서 말이다. ─ 49쪽

4) 내가 아이들에게 무언가 가르친 게 있다면 그건 우리를 둘러싼 세계를 호기심을 품고 받아들이도록 한 것이다. 뛰어난 수학자이자 교육자인 내 친구 안드레이 토옴이 한 말을 여기 인용한다. 자랑하고 싶어서가 아니다. 우리의 이상을 아주 잘 나타내고 있어서 옮긴다. 그는 다음과 같이 말했다.
“넌 수학이 아니라 삶이 무언지 아이들에게 가르치고 있구나.” ─ 32쪽

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출판사 서평

아빠와 아이들이 함께한, 세상에서 하나뿐인 수학 수업! 이 책은 30년 전, 수학 연구원이던 저자가 만 4살 난 아들 지마와 또래 친구들과 4년을, 딸 줴냐와 또래 친구들과 2년을 함께 수학 공부한 기록이다. 여기에는 단순히 수학 문제만이 아닌, 아...

[출판사서평 더 보기]

아빠와 아이들이 함께한, 세상에서 하나뿐인 수학 수업!
이 책은 30년 전, 수학 연구원이던 저자가 만 4살 난 아들 지마와 또래 친구들과 4년을, 딸 줴냐와 또래 친구들과 2년을 함께 수학 공부한 기록이다. 여기에는 단순히 수학 문제만이 아닌, 아이들의 반응, 옥신각신 싸웠던 논쟁, 아이들이 이해한 것과 이해하지 못한 것, 아빠의 열정과 실패담이 생생하게 기록되었다.

《내 아이와 함께한 수학 일기》는 무엇이 다른가?
저자는 숫자와 연산을 반복하는 것보다 ‘수학을 재미있는 것으로 기억하도록 돕는 것’이 더 중요하다고 보았다. 그래서 수학을 통해 아이들과 함께 생각하고, 대화하고, 질문하는 시간 자체를 소중하게 여겼다. “어떻게 하면 정해진 지식을 더 쉽게 가르칠까”를 고민하기보다, “어떻게 하면 재미있게 수학을 즐기는 법을 가르칠까”에 초점을 맞췄다. 이 책에서 일어난 이야기들을 보면서, 저자가 무엇을 했는지, 어떤 노력을 했는지, 무엇을 공부하고, 무엇을 실패했는지 등을 간접 경험하며 새로운 수학 교육의 모델을 삼아 볼 수 있을 것이다. 아이와 함께 무언가 해 보려는 부모라면 저자가 수업한 대로 따라해 보는 것도 좋겠다. 일기 앞에는 항상 수업 내용, 주제가 의미하는 수학적 배경이 자세하게 적혀 있다. 수학을 잘 모르는 부모여도 상관없다. 중요한 것은 호기심과 질문, 그리고 대화이다. 또한 이 책에는 교육자, 심리학자 들이 흥미 있어 할 아이들의 발달 과정, 수업 방식, 질문 방식 들이 자세히 나타나 있어 유아 교육의 중요한 표본 사례가 될 것이다.

시아에서 “유아 수학 교육의 고전”이라는 평을 받은 책
저자의 수업은 책으로 나오기도 전에 이미 러시아 여러 분야의 연구자들에게 열렬한 호응을 얻었다. 저자의 논문, 수업 활동 들이 소문나면서 언어심리학자, 교육자, 컴퓨터공학자, 유아 교육 종사자, 러시아 수학 교육 과정 개혁을 추진한 교육학자 들에게 “유아 수학 교육의 고전이라 불릴 만하다”는 평을 받게 된다. 많은 저널과 논문, 책 등에서 사례가 인용되었고 이 수업이 영감이 되어 다양한 수학 교육 실험이 계속되고 관련 책들이 발간되었다.

1. 아빠와 아이들이 함께한, 세상에서 하나뿐인 수학 수업!
수학과의 첫만남, 언제, 어떻게, 무엇으로 시작해야 할까?

유치원에 다니는 자녀를 둔 부모라면, 숫자나 덧셈이라도 가르쳐서 학교에 보낼 생각으로 아이를 책상 앞에 앉혀 놓고 그림까지 그려가며 이리저리 가르쳐 보다가 결국 아이에게 화를 버럭 낸 경험이 있으리라. ‘누굴 닮아 저렇게 이해를 못할까’ 투덜거리기까지 해가면서 말이다. 결국 빨간펜 학습지 선생님에게 구원 요청을 하거나, 두뇌 계발에 좋다는 수학 놀이 도구 진열대 앞에서 서성이거나, 옆집 아이가 다닌다는 ‘사고력 수학’ 학원 이야기에 귀를 솔깃하기도 한다. 그런데 그마저도 어떻게 시작을 해야 하는지, 무엇이 아이에게 좋은 것인지 모르겠다.
그러나 이것은 모두 착각이다. 수학은 숫자와 셈을 잘 익힌다고 끝이 아니며, 게임을 잘한다고 창의력이 높아지는 것도 아니며, 수학 전문가들만이 수학교육을 할 수 있는 것도 아니다. 그렇다면, 학교에 들어가기 전 아이에게 수학 교육이 필요할까? 도대체 아이에게 가르쳐야 할 수학이란 무엇일까? 언제부터, 무엇을, 어떻게 가르쳐야 할까?

아빠와 아이들이 함께한 소중한 기록
그것이 궁금한 독자들이 반길 만한 책이 출간됐다. 프랑스 보르도 대학 컴퓨터 사이언스 교수인 알렉산더 즈본킨이 쓴 《내 아이와 함께한 수학 일기》가 바로 그것이다. 러시아 출신 수학자였던 즈본킨은 지금으로부터 30여 년 전, 모스크바에 있는 자신의 집에서 만 4살인 아들 지마와 지마의 또래 친구들과 함께 수학 동아리를 시작한다. 수업은 매주 한 번 씩 짧게는 15분, 길게는 한 시간 정도 했다. 여름, 겨울 방학도 있었고, 해마다 졸업장을 나눠 주는 졸업식도 있었다. 호기심 많은 꼬마들과 아빠의 엎치락뒤치락, 좌충우돌은 4년 동안 계속되었고, 아빠는 이 이야기들을 꼼꼼하게 기록했다. 남자아이들이 초등학교에 모두 입학하자 아빠는 딸 줴나와 또래 여자아이들과 함께 수학 동아리를 2년 동안 이어간다. 같은 문제를 대할 때도 아이들은 개성에 따라, 성별에 따라, 교육 정도에 따라 대응하는 방식이 모두 달랐다. 즈본킨은 이 모든 내용을 꼼꼼하게, 열정적으로 기록에 남겼다. 그로부터 20여 년 뒤, 즈본킨은 프랑스 보르도 대학의 컴퓨터 교수로, 아들 지마는 파리 6대학의 수학과 연구 교수로, 딸 줴냐는 파리 8대학의 영화학과 조교수로 일하고 있다(본문 619~621쪽). 그리고 즈본킨의 일기에, 아들 지마와 딸 줴냐의 기억까지 더해져 한 권의 책으로 출간되었다.
아빠가 아이들과 함께했던 수업에 대한 소중한 기록은 단순한 육아 일기가 아니다. 그렇다고 수학 문제만 적힌 수학책도 아니다. 이 책에는 수업에 환호했던 아이들의 반응, 옥신각신 싸웠던 논쟁, 아이들이 무엇을 이해하고, 무엇을 이해하지 못 했는지, 이들이 어떻게 문제와 씨름했는지, 아빠의 열정과 실패담이 생생하게 기록되어 있다. 또한 어린이들의 지적 성장이 어떻게 이루어지는지, 수학 교육을 접근하는 방식은 어떠해야 하는지에 대한 치열한 고민이 들어있다.
이 책은 ‘유아 수학이 어떠해야 하는지’ 정답을 알려 주지 못한다. 하지만 이 책을 통해 저자가 무엇을 했는지, 어떤 노력을 했는지, 무엇을 공부하고, 무엇을 실패했는지 간접 경험하면서, 새로운 수학 교육의 모델을 삼아 볼 수 있을 것이다.

2.《내 아이와 함께한 수학 일기》는 무엇이 다른가?
수학을 즐기는 법을 가르치기

자, 이제 즈본킨의 수학 동아리 속으로 들어가 보자. 그는 왜 학교도 들어가기 전인 아들 지마와 수학 공부를 시작했을까?
그는 “아이와 함께하는 기쁨”을 느끼고 싶어서였다고 말한다. 그 기쁨을 위해 “무엇”을 할지는 다음 문제였다. 어느 날 한 어머니가 즈본킨에게 이런 편지를 보냈다.

“저는 어렸을 때부터 수학이라면 치를 떨었습니다. 그러나 저는 수학이 아이의 지적 발달에 아주 중요하다는 것을 압니다. 제가 어떻게 제 아들과 함께 수학 공부를 할 수 있을지 조언해 주십시오.”
나는 이렇게 답장을 썼다.
“어머님이 수학을 좋아하지 않는다면 아드님과 절대로 수학 공부를 하지 마십시오. 어머님 스스로 큰 만족 얻을 수 있는 것만 아이와 함께 하십시오. 그럴 때 어머님이 하는 일이 어머님 자신에게나 아이에게나 기쁨을 줄 것입니다. 무엇이든 좋습니다. 예를 들어 파이 굽는 것을 좋아하십니까? 그렇다면 아들과 함께 파이를 구워 보십시오.” (31쪽)

프랑스 철학자 자크 랑시에르가 쓴 《무지한 스승》(궁리)에는 “모르는 사람도 스승이 될 수 있고, 어쩌면 그것이 바람직하다”는 이야기가 나온다. 역설적이게도 ‘배우는 사람이 스스로 깨우치도록 하는 것’이 가장 훌륭한 스승의 자질이라는 것이다. 즈본킨은 ‘어떻게 하면 정해진 지식을 더 쉽게 가르칠까’를 고민하기보다, ‘어떻게 하면 재미있게 수학을 즐기는 법을 가르칠까’에 초점을 맞추고 있다. 중요한 것은 아이들이 호기심과 흥미를 잃지 않도록 질문하고 대화하는 것이라고 강조한다.
수학을 좋아한다면 자기가 아는 지식을 바탕으로 아이와 만나면 되고, 수학을 모른다면 다른 방식으로 아이와 만나거나, 저자가 한 대로 해 보면서 아이에게 질문해 보면 좋다. 가르치려 들면 힘들다. 궁금해 하면서 마주보고 대화하는 기회로 삼으면 된다. 아이를 믿고, ‘배우는 사람이 스스로 깨우치도록’ 옆에서 도와주면 되는 것이다. 수학을 시켜서 ‘우리 아이가 수학을 잘하게 만들어야지’하는 욕심으로 접근하면 실패할 가능성이 높다. 수학을 재미있는 것으로 기억하도록 돕는 역할이면 최소한은 한 것이다. 아이들에게는 강한 호기심과, 학습에 대한 강렬한 욕구가 있으므로, 수학적 상황 속에서 대화하는 동안 은연중에 뭔가 터득해 갈 것이다. 수학은 어떤 학문보다 연역 사고를 한다. 바로 그것이 수학 공부하는 재미이다. 물론 필요하다면 부모들도 책을 찾아 읽고 공부해야 하리라. (77쪽~78쪽을 참고하면 좋다. 브론펜브레너의 책 《아동기의 두 세계 : 미국과 소련의 아이들》을 인용하며 저자는 “적어도 어느 특정한 연령대에서는 부모의 따뜻한 손길과 정서적인 유대가 아이의 발달에서, 특히 아이의 지능 발달에서 다른 어떤 형태의 활동이나 교육보다 훨씬 더 중요하다”고 했다.)

동아리 만들어 공부하기
그렇다면 아이들과 어떻게 만났을까? 즈본킨이 선택한 방식은 ‘동아리’였다. 이는 러시아의 분위기와 무관하지 않다. 제0장과 ‘옮긴이 글’(628~630쪽)에서 나오듯, 러시아는 수학의 중요성을 일찍부터 깨닫고 수학 교육에 힘써왔다. 저명한 수학 교수들도 기꺼이 초ㆍ중ㆍ고등학교에 가서 아이들을 위해 수업을 하는 일이 흔했다. 그것도 특강이 아닌 지속적으로 하는 일반 수업을 말이다. 그러다 보니 학문 교류가 단순히 대학에만 머무르지 않고, 전 교과 과정에서 활발하게 이어졌다. 또한 소규모 그룹이 모여 토론과 발표를 통한 문제를 해결하는 과정을 중요하게 생각하는 풍조도 있었다. 당시 러시아 석유 가스 산업 자동화 연구소 수학 연구원이었던 즈본킨도 동료들과 함께 어린이 수학 교육을 위한 컴퓨터 프로그래밍을 연구하는 동아리 활동을 했다. 그런 맥락에서 그가 아이들과 수학 동아리를 시작한 것은 당연한 것인지도 모른다. 동아리라는 형식이 갖춰지는 순간부터, 아빠와 아이들의 만남은 ‘특별한 시간’이 되었던 것이다.

“도대체 언제 또 수학 공부를 하는 거야?”라고 아이들이 스스로 묻기를 바라기도 하면서 어느 정도 시간이 필요하다고 고집하며 난 생각했다. ‘아이들 스스로 하자고 조르지 않으면 수업 안 할 거야.’
사실 이보다 더 어리석은 생각을 해내기란 쉽지 않다. 아이들은 주어진 시간을 산다. ‘토요일 11시에 일어나야만 한다’는 것에 대해 생각하지 않는다. 토요일 11시에 아무 일도 일어나지 않으면 아이는 틀림없이 그냥 모르고 지나친다. (131쪽)

아이가 궁금해할 만한 수학적 상황 만들기
아이는 수학적 상황을 만나면서 수학을 하게 된다. 그런데 이 대목에서 부모들은 가장 난감하다. 수학적 상황이란 무엇일까? 어떻게 만들까? 이 책에는 끊임없이 ‘수학적 상황’을 만들려고 애쓰는 저자의 모습을 볼 수 있다. 이를 위해 엄청난 노력을 기울였음은 당연하다. 저자가 시도했던 많은 상황과 문제들을 독자들도 직접 적용해 본다면 많은 도움이 될 것이다. 책에 나오는 재미있는 사례 가운데 하나를 간략하게 소개한다.

나는 병에 콩을 채워 넣고 아이들에게 콩이 몇 개나 될지 짐작해 보라고 했다. 반 전체가 소리친다. “100개!” 나는 그렇게 하는 건 재미없다고, 맞혀서 이기는 사람이 없지 않으냐고 했다. 그러고는 말했다.
─자, 이렇게 해 보자. 한 사람씩 자기가 생각하는 수를 말해 보는 거야. 다들 다르게 숫자를 말하기로 하자. 그걸 칠판에 쓰고 나중에 검사하자꾸나.
칠판에 이름과 수를 썼다. 다 하고 나서 콩이 몇 개인지 셌다. 아이들은 모두 합창으로 세어갔다. 콩은 모두 49개였다.
─어디, 누가 맞았어?
내가 묻자,
─다 틀렸어요.
아이들은 누구도 정확한 개수를 짐작하지 못했다는 말이었다.
─좋아. 어쨌든 그럼 누가 정답에 가장 가까운 값을 답했을까?
─타냐요. (타냐는 52를 불렀다.)
─그럼 타냐는 얼마나 틀린 걸까?
─3개 틀렸어요.
반 전체가 대답한다. 모두 좋다. 이 문제를 끝내고 우리는 다른 문제로 넘어갔다. 한 15분쯤 흘렀을까. 나는 아이들에게 ‘뺄셈 예제 문제’를 냈다. 52─49를. 결과는 놀라웠다. 이 문제를 한 명도 풀지 못한 것이다. 단 한 명도! (504쪽)

여기서 눈여겨볼 점은 52─49 계산을 설명하더라도 수식을 쓰거나 올림이나 내림으로 설명하지 않고, 자연스럽게 아이들이 수학적 상황을 경험하도록 한 점이다. 물론 이것이 정확한 계산을 푸는 능력으로까지 이어지지 않아도 상관없다. 저자는 아이가 이해하지 못하는 문제는 억지로 이해시키려고 하지 않고 그냥 넘어갔다. 그저 언젠가 아이가 기억하게 되는 날이 왔으면 좋겠다는 바람과 함께. 저자는 그런 것은 언젠가 아이 스스로 논리 구조가 갖춰졌을 때 비로소 갖게 되는 것이라고 생각했다. 그때까지 아이가 궁금해할 만한 상황을 만드는 것, 호기심을 갖도록 하는 것, 동기를 만드는 것이 중요하다고 강조했다.

내가 가장 바라는 것은, 시간이 흘러 이 아이들 가운데 누군가가 문득 자기 스스로 성냥개비로 우물을 만들어 보고 성냥개비가 몇 개나 되나 세어 보는 것이다. 그냥 궁금해서, 그냥 정말로 몇 개인지 알고 싶어서 말이다. 별것 아닌 것 같지만 이것이야말로 독자적인 연구 아니겠는가! 어쨌든 나는 그저 “정말 재미있네!”, “훌륭한걸!” 같은 말로 환기시킬 뿐이다. 이 상황이 아이들의 기억 속에 더 굳게 박힐 수 있길 기대하면서 말이다. (49쪽)

멈추어 생각하기
사실 이 책은 아이들 성장기를 담고 있지만 한편, 아빠의 성장기를 담고 있기도 하다. 아이들 반응 하나하나에도 일희일비하는 아빠는 15분 수업을 위해 며칠을 꼬박 수업준비를 하는 열성 교사이기도 했다. 아이들이 못 풀까, 재미없어 할까 조바심내고, 때론 성급히 끼어들었다며 자책하기도 하고, 때론 자식자랑을 멈출 수 없는 팔불출이기도 했다. 본문 406쪽~408쪽에는 친척집에서 초등학교에 들어가기도 전인 지마에게 33 곱하기 17을 풀어보라고 했다가 망신을 당하는 즈본킨의 일화가 나온다. 이런 이야기를 보면 웃음을 참을 수 없다.
그러나 즈본킨도 항상 노력하는 것이 있었다. 그것은 바로, ‘멈추어 생각하게 하라’는 것이었다. (저자는 이 상황을 얀 스메드슬룬드의 ‘인지 갈등’으로 설명한다. 무심코 판단하는 것을 멈추게 하고, 상호 갈등 전략 사이에서 갈등하도록 하는 것을 말한다. 본문 78~79, 109, 132~139쪽에 자세한 일화가 있다.) 습관적, 반복적으로 계산하고, 쉽게 답을 말하지 않게 하고 중간중간 끊어서 “왜 그렇게 되는데?”라고 되물었던 것이다. 흔히 사람들은 숫자를 가르치면 수를 알고, 숫자를 세면 덧셈과 곱셈을 가르치려 하고, 반복훈련 하다 보면 아이가 이해하고 받아들인다고 생각한다. (물론 반복과 셈하기가 수학 공부에 도움이 되지 않는다는 말이 절대 아니다. 실제로 유치원 때 셈을 잘하는 아이가 초등 이후 모든 분야에서 높은 성과를 보인다는 연구 결과도 있다.) 그러나 그것은 수학이 아니라 ‘다른 무언가’를 하고 있는 것이다. 왜냐하면 수학은 근본적으로 고도 추상체인 ‘수’를 대상으로 하고, 그것을 연산하려면 ‘연역’이 필요하기 때문이다. 숫자를 센다거나 덧셈 곱셈을 하는 게 나쁘다고 말하는 게 아니다. 다만 그것이 아이에게 단순 반복과 강요로 이루어질 때, 아이는 수학을 싫어할 수 있게 된다. 그리고 더 위험한 것은 수학을 잘할 소질이 있었는데, 자신이 수학에 소질이 없다고 지레 겁먹는 아이가 나올 수도 있다. 아들 지마도, 초등 1학년 때 수학 점수가 낮게 나온다.(461~468쪽 참고) 아빠가 수학 동아리 놀이를 하지 않고 내버려두었다면, 지마는 수학을 싫어하고 못하는 아이로 자랐을지 모른다.

우리 공부 동아리의 목표와 의미는 무엇일까? 우리가 함께 공부하는 의미는 공부한다는 자체에 있다. 재미있었으면 하는 데 있다. 질문을 던지고 거기에 맞는 답을 찾아보는 데 있다. 크게 봐서, 삶이란 그런 거니까. (69-70쪽)

중요한 것은 아이가 강요받는다는 느낌을 받지 않게 하는 것이다. 그런 느낌이 든다면 그때부터 아이는 부모와 교사의 마음에 들기 위해 행동하면서 불안해하고, 못하면 억눌리게 된다.

질문하기 - 중요한 것은 정답이 아니라 ‘좋은 질문’을 하는 것
이 책에서 가장 많이 등장하는 기호는 ‘물음표’가 아닐까 싶다. 아이들에게 어떻게 질문하고, 접근했는지 엿볼 수 있는 좋은 예들이 있다. 조건이 정확한 문제, 정답이 정확한 질문은 많지 않다. 이건 몇 그램이야, 이건 몇 퍼센트야? 라고 묻기보다는 그저 자연스럽게 놀고, 책을 함께 읽고, 서로 대화를 하다가 자연스럽게 질문을 이끌어 내는 경우가 많았다.

아이들이 얼마 전 동물원에서 원숭이를 구경한 이야기를 나누고 있을 때였다. 나는 대화에 끼어들면서 “너희들이 원숭이를 구경한 게 아니라 원숭이가 너희를 구경했다”라고 말했다. 나의 이런 중상모략에 아이들이 필사적으로 반발한 것은 당연하다. 그러나 아이들은 내 말에 어떻게 대처해야 할지 잠시 막막해했다.
─우리가 원숭이를 봤어요.
그 정도 반박은 깨부수기 쉬운 것 중에서도 아주 쉬운 것이다.
─아니 생각해봐, 너희가 원숭이를 봤다고? 좋아! 하지만 원숭이도 너희들을 봤잖아.
그다음 반박은 꽤 심각했다.
─우리는 원하는 곳에 어디나 갈 수 있지만 원숭인 그럴 수 없어요. 걔들은 우리 안에 갇혀 있는걸요.
그러나 나도 반박거리를 찾았다.
─아냐, 너희들은 가고 싶은 곳 어디나 가는 건 아냐. 예를 들면 원숭이 우리 안으로 들어갈 수 없잖니. 원숭이도 밖으론 나올 수 없어. 그저 창살이 있고 원숭이는 그 한쪽을 다니고 너희들은 다른 쪽을 다니는 거잖아.
그렇게 우린 얼마 동안 티격태격했는데 갑자기 지마가 기쁨에 겨워 소리쳤다. 마치 내 계략을 눈치챘다는 듯이.
─아휴, 아빠! 우리 또 수학 공부하는 거네!
상당히 흥미로운 발전이었다. 첫 수업에서 아이들은 책상 위에 흩어져 있는 단추의 개수를 앞다퉈 세면서 수학을 ‘세는 것’으로 인식했다. 그러나 이제 아이들은 수학을 ‘논리 게임’으로 이해한다. 마치 수학자 루이스 캐럴이 만든 게임 같은. (184-185쪽)

패턴 찾기 ─ 이해한다는 것은 패턴을 인식하는 것
저자가 아이들과 했던 문제들에는 패턴을 인식하는 문제들이 많다. 그림 여러 개를 보고 패턴을 찾고 빠진 부분 완성하기(150~152쪽), 축대칭과 점대칭 그림을 보고 나머지 그림 완성하기(238~239쪽), 비슷한 쉬운 문제를 먼저 보여주고 어려운 문제 풀기, (5개에서 2개를 뽑는 경우의 수, 혹은 조합) 문제를 설명하기 위해 다양한 예를 드는 제3장의 이야기들은 모두 흥미롭다. 아이들은 대부분 패턴을 찾는 데 집착에 가까운 열정을 보인다. 저자는 이 점을 주목했다. 패턴을 인식하는 과정 속에서 아이들은 문제를 이해한다는 것을. 수학도 얽히고설킨 현상을 추상화시켜 패턴을 찾으면서 생겨났다.(632쪽) 아이들과 수학 언어로 대화하지 않지만, 상황이나 놀이 속에 담긴 패턴을 찾다보면 서로 흥미를 일으키며 재미있게 수학에 대해 대화할 수 있다는 점을 이용한 것이다.

아이와 함께 만나 소통하는 것이 바로 공부다!
이 모든 것을 통틀어 가장 중요한 것은 아이와 만나는 것이다. 어린이는 자연스럽게 강요받지 않고 놀면서 큰다는 사실, 그러기 위해서는 어린이에 대한 믿음이 필요하다는 사실, 그리고 충분히 기다리며 지켜보아야 한다는 사실이다.

부모님들께 드리는 말씀입니다. 아이와 함께 무언가를 해 보고 아이와 함께 무언가를 만들어간다는 건 정말로 재미있습니다. 여러분이 해 보시면 아실 거예요. 꼭 해 보세요. 아이는 물론이고 여러분에게 얼마나 큰 기쁨을 주는지 아시면 틀림없이 놀라실 겁니다. 무엇으로 함께할지는 그다지 중요하지 않습니다. 저는 수학으로 함께했지요. 여러분은 여러분 취향에 따라 무엇이든 골라 보십시오. 함께하는 것이 중요합니다. 공부란 무엇보다 사람 사이에 나누는 소통 아니겠습니까. (10쪽)
이 책을 통해 사람들이 수학과 교육이라는 가치를 넘어 삶과 가족에 대해, 아이와 함께하는 삶의 행복에 대해 느끼게 되길 희망한다. 어린 시절부터 엄청난 양의 학습에 지쳐가는 아이들이 아닌, 호기심 가득한 눈으로 세상을 탐구하는 아이들이 이 땅에 많아지길 희망한다. 서로 소통하는 즐거움이 무엇인지 느끼기를 희망한다. 이 책을 읽고 아이들과 수업을 시작한 부모나 교사들이 훗날 서로를 추억하게 되기를 희망한다. 이 책이 그 단초를 제공할 소중한 씨앗이 되길.

아이들과 ‘내용이 있는’ 교감을 나누는 순간들, 다시 말해 무엇이든 의미 있는 일에 함께 참여하는 순간들은 지극히 드물다. 그렇게 하는 게 얼마나 소중하고 어떤 기준으로 재든 그 가치는 결코 사라지지 않는데도 말이다. 줴냐와 함께하면서 우리에게 일어났던 게 바로 이것이다. 줴냐는 환희에 차서 동아리 활동을 했다. 그건 수학 때문이 아니었다. 그건 아빠가 시간과 관심을 자기와 나누고 있고, 자신과 함께 공부한다는 것이었다. 그것도 예전에 오빠와 함께했던 그것, 무엇인지 모르지만 심각한 것에 대해서 말이다. (511쪽)

3. 러시아에서 “유아 수학 교육의 고전”이라는 평을 받은 책
저자의 수업은 책으로 나오기도 전에 이미 러시아 여러 분야의 연구자들에게 열렬한 호응을 얻었다. 저자의 논문, 수업 활동 들이 소문나면서 언어심리학자, 교육자, 컴퓨터공학자, 취학 전 부모를 위한 교육 종사자, 러시아 수학 교육 과정 개혁을 추진한 교육학자 들에게 “유아 수학 교육의 고전이라 불릴만하다”는 평을 받게 된다. 많은 저널과 논문, 책 등에 사례가 인용되었고, 이 수업이 영감이 되어 다양한 수학 교육 실험이 계속되고 관련 책들이 발간되었다. 그 일이 계기가 되어 즈본킨은 프랑스 보르도 대학에 교수로 재직하게 된다. 수학 동아리를 함께 했던 아들 지마는 현재 프랑스 파리 6대학의 수학과 연구교수로, 딸 줴냐는 파리 8대학의 영화학과 조교수로 일하고 있다. 또한 이 책은 미국에서 2011년 영역본(Math from three to seven)으로 출간되었다.
★ 이 책은 수학과 교육이라는 가치 너머에 더 많은 걸 담고 있다. 삶과 가족에 대해, 그리고 아이와 더불어 놀고, 함께 생각을 펼치는 행복이 담겨 있다. ─ 드미트리 쉬놀(모스크바 영재학교 수학 교사)
★ 그는 수학이 아니라 삶이 무언지 아이들에게 가르치고 있다. ─ 안드레이 토옴(브라질 국립대 수학ㆍ컴퓨터 공학 교수)

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책 속 한 문장

회원리뷰

  • 아빠와 함께 수학을~ | sy**seo | 2013.02.09 | 5점 만점에 5점 | 추천:0
    우리나라에서는 아이의 공부는 엄마의 책임인 것처럼 생각한다. 사교육을 시키는 경우에는 발빠르게 어떤 곳에 좋은 선생님이 있...
    우리나라에서는 아이의 공부는 엄마의 책임인 것처럼 생각한다. 사교육을 시키는 경우에는 발빠르게 어떤 곳에 좋은 선생님이 있는가를 알아야 하고, 연령대에 맞추어서 어떤 교육을 시켜야 하는가도 엄마들이 일방적으로 결정하는 경우가 많다.
    아빠는 아이의 공부와는 아무런 상관이 없는 것처럼 무관심한 이 시대에 '아빠의 수학일기'라는 것이 특별하게 느껴진다.
    내 경우에는 아들이 처음 숫자를 익히는 과정에서 중학교 과정이 끝날 때까지는 함께 공부를 했기에 '내 아이와 함께 하는 수학 공부'라는 것이 그리 낯설지는 않다.
    수학 올림피아드 문제 같은 경우에는 응용력을 많이 요구하는 문제이기에, 때로는 함께 생각하고, 함께 풀면서, 정답을 맞추어 가는 과정이 재미있기도 했다. 그래서인지, 아들은 어떤 과목보다도 수학 과목을 잘 했고, 가장 좋아하는 과목이 되었다. 그리고 경제학을 전공하다 보니 아들에게 수학은 자연스럽게 삶의 일부가 되어 버렸다.
    그래서인지 < 내 아이와 함께한 수학일기>를 보는 순간, 어떤 이야기가 담겨 있을지 궁금했다.
    이 책의 저자인 '알렉산더 즈본킨'은 소련개방기에는 과학기술원 소속 연구 위원회에서 연구원으로 일했고, 그후에는 러시아 석유 가스 산업 자동차 연구소에서 수학, 컴퓨터 연구원으로 일했다.
    러시아가 어느 나라보다도 기초학문인 수학과 과학이 발전되었기에 그들의 수학 교육이 어떨까 하는 생각도 가지게 된다.
    당시 저자는 4살된 아들이 지마와 또래 친구들을 모아서 수학동아리를 만들고, 1주일에 1번 15분에서 1시간동안 수학을 가르치게 된다.
    그러나, 여기서는 가르친다는 표현을 썼지만, 그의 수학일기를 읽어 보면 수학을 가르치기 보다는 수학으로 놀기, 놀면서 수학문제 풀기라고 해야 할 것이다.
    이 표현도 이 책을 읽어 보면 알 수 있겠지만, 반드시 수학문제를 풀어야 겠다는 그런 개념은 아니다. 일상생활에서 수학을 접하고, 수학과 친해질 수 있는 분위기를 만들어 준다고 하는 편이 옳을 것이다.
    그렇게 4년간을, 그리고 딸 줴나와 또래친구들에게도 2년간, 이런 수학동아리 활동을 아빠가 주체가 되어서 함께 한다.
    여기까지 읽은 독자들은 간혹 " 왜, 자신의 아이에게만 수학을 가르치는 것도 힘들텐데, 다른 아이들까지 가르칠까?" 하는 의구심이 생길 수 있다.
    그건 자신의 아이를 가르쳐 본 경험이 있는 부모들이면 잘 알 것이다. '자신의 아이만' 일 경우에는 상황에 따라서 수업을 게을리 할 수 있다는 것이다. 또한, 또래 친구들과 함께 하게 되면 서로 같은 생각을, 다른 생각을 하게 되기에 거기에서 배울 수 있는 점들도 많은 것이다.
    책 내용 중에 이런 부분이 있다. 아주 수학을 싫어 하는 엄마가 질문을 했다. 자신도 자신의 아이를 이런 방법으로 수학을 가르칠까 하고, 저자의 답은 " 아니요, 하지 마세요" 이다.
    그 이유는? 자신이 싫어한다면 아이에게도 좋은 가르침을 줄 수 없다는 것이다.
    저자의 친구이자 수학자이며 교육자인 '안드레이 토옴'은 '즈본킨'에게 이런 말을 했다고 한다.
    " 넌 수학이 아니라 삶이 무언지 아이들에게 가르치고 있구나." (p. 32)
    그 말이 의미하듯이, 앞에서도 말했듯이 수학을 가르치는 것이 아니라 놀이를 통해 수학적 두뇌를 만들어 주는 것이다.
    문제를 제시하고 아이들의 반응을 관찰한다. 그래서 그가 가장 많이 쓰는 말이 " 왜, 그렇게 생각하니?" 이다.
    설령 문제의 답이 틀려도 상관은 없다. 스스로 깨우칠 때까지 기다려 주는 것이다.
    한 번은 아들이 틀린 답을 이야기했는데, 그 답이 왜 틀리는지, 어떻게 생각해야 되는지 가르쳐 주지 않았다고 한다. 1년인가 흐른 후에, 어떤 계기로 아들은 그 때의 아빠의 질문과 자신의 답을 생각하게 되었고, 그때서야 자신의 생각이 틀렸음을 깨달았다고 한다.
    이 책에는 다양한 수학 문제가 실려 있다. 수학을 공부한 어른들이 보면 분명, 집합, 확률, 도형, 조합 등에 해당하는 수학문제이고 아이들의 수준에는 너무 높은 수준의 문제라는 생각이 들지만, 저자의 생각은 그와는 다르다.
    그렇게 생각한다면, 생활 속에서 집합이 아니고, 확률이 아니고, 조합이 아닌 경우가 얼마나 되겠는가?
    이런 문제들을 수학적 문제로 생각하는 것부터 생각의 전환이 필요한 것이다.
    그래서 이 책은 차근차근 읽어 보아야 저자가 하고 싶은 이야기를 들을 수 있는 것이다.
    또한, 저자가 이 책을 출간을 목적으로 쓴 것이 아닌, 자신의 아이들과 수학 동아리를 가르치면서 개인적인 기록들일 뿐이다.
    그런데, 어느새 입에서 입으로 소문이 나면서 20 년후에 출판을 권유받게 되면서, 오래전의 수학일기인 아빠의 기록에 아이들의 당시 기억들이 합쳐져서 책으로 엮어진 것이다.
    우리나라 저자가 쓴 책으로 <아빠 수학노트 / 민병갑 ㅣ 예담 ㅣ2012>이 있는데, 이 책은 아빠가 수학을 어려워 하는 두 아들에게 수학의 개념을 쉽게 풀어 낸 책인데, 이 책에는 < 내 아이와 함께 한 수학일기>보다는 학교 수업내용을 중심으로한 내용들이다. 그런데 앞의 책과 공통점을 찾자면 수학공부와 인생의 상관관계를 일깨워 준다는 점이다.
    < 내 아이와 함께 한 수학일기>가 <아빠의 수학노트>보다는 훨씬 광범위한 분야를 다루고 있다. 수학 이외의 학문까지도 다루고 있다.
    아이들의 수학 공부에 관심을 가진 독자들이라면 한 번 쯤 이 책을 읽어 보는 것도 좋을 듯하다.
    이 책을 읽게 된다면, 최소한 아이들에게 학습 동기를 부여하는 방법이라도 익힐 수 있을 것이다.
    흔히, 수학은 어렵게 공부하는 과목이지만, 나중에 별로 소용이 없는 학문이라고 말하기도 한다. 그러나, 수학을 공부한다는 것은 두뇌 회전을 비롯한 사고력 증진에도 큰 도움이 되고, 모든 학문의 근간이 된다는 생각을 가져야 한다고 생각된다.
    아빠가 바쁘다면, 엄마면 어떻겠는가? 자녀와 함께 수학일기를 써보는 것이 ~~~

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