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수학 사고력을 키우는 20가지 이야기
| 규격外
ISBN-10 : 1195088302
ISBN-13 : 9791195088300
수학 사고력을 키우는 20가지 이야기 중고
저자 가미나가 마사히로 | 역자 조윤동 | 출판사 윤출판
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2015년 12월 30일 출간
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책 소개

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『수학 사고력을 키우는 20가지 이야기』는 160여 개의 표와 그림으로 매번 반전의 논리를 친절하게 설명한다. 수학 지식이 부족하거나 수식에 자신이 없어도 그림만 보면 내용을 쉽게 따라잡을 수 있다. 풍부한 현장 경험을 가진, 한국교육과정평가원 조윤동 박사의 읽기 쉬운 번역과 세심한 역자 주가 사고와 학습의 효용을 높여준다.

저자소개

저자 : 가미나가 마사히로
저자 가미나가 마사히로(神永正博)는 1967년 도쿄에서 태어나, 도쿄 이과대학 수학과를 졸업하고 오사카 대학에서 수학 박사 학위를 받았다. 현재 도호쿠가쿠인 대학 교수로 일하고 있다. 히타치제작소에서 연구원으로 일한 경력이 있으며, 전문 분야는 미적분학을 발전시킨 해석학(양자 역학의 기초방정식인 슈뢰딩거 방정식)과 암호 이론(IC카드, IC태그 등의 암호 해독, 해킹 방위 기술의 개발)이다. 저서로 『거짓을 간파하는 통계학』, 『미적분학 입문』, 『불투명한 시대를 꿰뚫어보는 통계 사고력』 등이 있다.

역자 : 조윤동
역자 조윤동은 서울대학교 수학교육과, 서강대학교 교육대학원을 졸업하고 한국교원대학교에서 수학교육으로 박사 학위를 받았다. 공항고, 경동고, 서초전자공고, 여의도고를 거쳐 현재 한국교육과정평가원에 재직하고 있다. 저서로 『수학파티 1, 2』가 있고, 번역서로 『수학의 역사 상, 하』, 『마술 같은 수학』, 『무한, 한없이 커져가는 마법의 수』, 『되살아나는 천재 아르키메데스』, 『직관 수학 기초편』, 『직관 수학』, 『직관 미·적분』 등이 있다.

역자 : 이유진
역자 이유진은 단국대학교 수학교육과를 졸업하고 이화여자대학교 대학원에서 수학교육 석사 학위를 받았으며, 현재 텍사스 A&M 대학교 수학교육학 박사과정을 밟고 있다. 한국교육과정평가원에서 연구원으로 일했다.

목차

옮긴이의 말
머리말

제1장 직감을 배반하는 데이터
불경기인데 소득이 오르다니
평균 수명까지 인구의 절반이 죽는 걸까
암에 걸렸을 확률은
사람이 사람을 모은다
부정한 회계인지 한눈에 알 수 있다


제2장 상식을 깨는 확률
다른 사람을 나로 착각할 확률은
평균이 존재하지 않는 세계
계산대가 하나 늘면 기다리는 시간은 얼마나 줄까
후반 대역전의 가능성은
어느 수학자의 바늘 던지기

제3장 직관을 뛰어넘는 도형
맨홀 뚜껑은 꼭 원 모양이어야 하나
작은 것이 큰 것을 삼키다
바늘을 돌려 만든 도형은 얼마나 작아질 수 있을까
부피는 유한인데 겉넓이는 무한이라고
지도를 4색만으로 구분할 수 있다니

제4장 통념을 뒤엎는 논리
곡선으로 정사각형을 채울 수 있을까
불리한 게임에서 이기는 묘수는
바꾸느냐 마느냐, 그 확률은
셀 수 있는 무한, 셀 수 없는 무한
부정할 수도 긍정할 수도 없는 명제

맺음말
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책 속으로

천재는 재능이 있기 때문에 번뜩이는 것이 아니라, 많이 생각하기 때문에 번뜩이는 것입니다. 수학에 ‘직감’이라는 지름길은 없습니다. 결국 문제를 끈질기게 계속 생각하고, 논리를 하나하나 신중하게 따라가는 것이 정답에 다다르는 길입니다. (머리말 p....

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천재는 재능이 있기 때문에 번뜩이는 것이 아니라, 많이 생각하기 때문에 번뜩이는 것입니다. 수학에 ‘직감’이라는 지름길은 없습니다. 결국 문제를 끈질기게 계속 생각하고, 논리를 하나하나 신중하게 따라가는 것이 정답에 다다르는 길입니다.
(머리말 p.9)

평균이나 비율의 수학에는 ‘의미’가 숨어 있으며, 표에서 어느 하나의 요소만 빠져도 결론은 180도 달라져버립니다. 이것이 통계가 지닌 어려우면서도 재미있는 부분입니다.
(불경기인데 소득이 오르다니 p.29)

일상적으로 수학을 다루는 사람조차 정확한 확률을 파악하기는 어려운 일이라는 것입니다. 직감으로 ‘대충 이 정도’라고 어림하는 것이 아니라, 제대로 계산하는 것의 중요성을 시사하는 것은 아닐까요?
(다른 사람을 나로 착각할 확률은 p.94)

‘정육면체를 칼로 싹둑 잘랐을 때, 잘린 단면이 정사각형이 되는 것은 어떤 경우일까?’를 생각해보면, 문제를 해결할 수 있기 때문입니다. 도형 문제는 감각이 필요하다고 이야기되지만 이론적 사고력을 갈고닦는 것이 훨씬 효과가 있습니다.
(작은 것이 큰 것을 삼키다 p.161)

이 문제의 이상한 점은 맨 처음에 문제를 들었을 때 생긴 ‘확률은 반반’이라는 직감이 마지막까지 끈덕지게 남아 있는 것입니다. 메릴린에게 반론을 제기했던 수학자들은 첫 번째 인상에 사로잡힌 결과, 진실을 보지 못하게 된 것입니다. 몬티 홀 문제에서도 직감에 의존하는 것은 바람직한 게 아니었네요.
(바꾸느냐 마느냐, 그 확률은 p.233)

그래도 수학자가 걸음을 멈추는 일은 없겠지요. 연속체 가설이 보여 준 ‘부정할 수도 긍정할 수도 없는 명제가 있다’는 사실, 이것은 세기의 커다란 난제에 정면으로 맞섰던 용기와 노력의 결정체입니다.
(부정할 수도 긍정할 수도 없는 문제 p.263)

엄청난 시행착오를 거쳐서야 겨우 진리에 이르게 되는데, 그것이 수학입니다. 수학에서 직감은 바로 얻을 수 있는 것이 아니고, 이렇게 세련되지 못한 작업이 쌓이고 쌓여야 비로소 얻어지는 것입니다. ‘생각하기’란 ‘시행착오를 거치는 것’과 다르지 않습니다. 그리고 그것은 살아 있는 것 그 자체라고 생각합니다.
(맺음말 p.265)

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출판사 서평

수학에는 ‘직감이라는 지름길이 없다’ 문제를 끈질기게 생각하고 논리를 하나하나 신중하게따라가는 것이 정답에 다다르는 길이다. 직감과 상식을 뒤엎는 이야기들을 데이터, 확률, 도형, 논리 4분야에서 각각 5가지씩 뽑아서 실었다. “어! 왜? 아하!”를 ...

[출판사서평 더 보기]

수학에는 ‘직감이라는 지름길이 없다’ 문제를 끈질기게 생각하고 논리를 하나하나 신중하게따라가는 것이 정답에 다다르는 길이다. 직감과 상식을 뒤엎는 이야기들을 데이터, 확률, 도형, 논리 4분야에서 각각 5가지씩 뽑아서 실었다. “어! 왜? 아하!”를 거듭하다 보면 수와 사물을 제대로 보게 될 것이다. 거꾸로 보고, 옆에서 보고, 뒤집어서도 생각해 보라. 결국 중요한 것은 끝까지 생각하고 또 생각하는 능력이다.

직감, 상식, 찍기는 없다
뒤통수를 자꾸 얻어맞는다면 기분 좋을 리 없다. 게다가 상식, 직감과는 전혀 다르게 전개되는 과정을 보다 보면 바보가 된 기분도 든다. 그럼에도 끝까지 따라갈 수밖에 없는 매력이 있다. 결국엔 통쾌한 깨달음을 만나게 되니까.
데이터, 확률, 도형, 논리의 각 분야별로 대표적인 주제를 5가지씩 다룬다. 일상에서 쉽게 만날 수 있는 재미있는 이야기로 시작해, 차차 심오한 수학의 세계로 나아간다. “어! 왜? 아하!”를 거듭하다 보면 수와 사물을 제대로 보게 될 것이다. 거꾸로 보고, 옆에서 보고, 뒤집어서도 생각해 보라. 결국 중요한 것은 끝까지 생각하고 또 생각하는 능력이다.
저자는 수학에 ‘직감이라는 지름길’은 없다고 주장한다. 직감이나 느낌은 사실 후천적인 지혜이다. 수학 선수들이 문제를 보자마자 답을 내는 것처럼 보이는 것도, 실은 이미 알고 있는 정답을 설명하는 것일 뿐 결코 직감이 아니라는 것이다. 문제를 끈질기게 생각하고, 논리를 하나하나 신중하게 따라가는 것만이 정답에 다다르는 길이다.

차별일까 역차별일까?
미국 플로리다 주에서 발생한 살인 사건의 재판에서 ‘사형 판결을 받은 비율과 인종의 관계’를 조사해보았다. 그 결과 백인은 11.0%(483건 가운데 53건)가 사형 판결을 받은 반면, 사형 판결을 받은 흑인은 7.9%(191건 중 15건)뿐이었다. 뜻밖의 역차별인 걸까? 그러나 피고인이 흑인이고 피해자가 백인일 때 사형 판결 비율은 22.9%(48건 중 11건)였지만, 반대의 경우에 사형 판결을 받은 백인은 없었다(16건 중 사형판결 0건). 피해자의 인종이라는 요인을 간과할 경우 전혀 다른 결론에 이르는 것이다.
평균이나 비율의 수학에는 ‘의미’가 숨어 있으며, 표에서 어느 하나의 요소만 빠져도 결론은 180도 달라져버립니다. 이것이 통계가 지닌 어려우면서도 재미있는 부분입니다. (29p)
소득, 성적, 몸무게 등 친숙한 소재로 이야기를 시작하지만, DNA 감정, 암호 생성, 스팸 메일 필터링, 분식 회계 적발 등 사회 여러 분야에서 적용되고 있는 깊숙한 원리를 설명한다. 후반부에는 수학의 정의, 증명, 무한 등 제법 난이도 높은 문제가 이어지지만, 간명한 설명과 적절한 비유로 어렵지 않게 고등수학을 맛볼 수 있다.
밭전자(田) 모양의 9개의 점에 대해 ‘한붓그리기로 4개의 직선을 모두 이어라’(152p)와 같이 간단하면서도 사고의 맹점을 찌르는 문제를 먼저 보여주고, ‘정육면체에 구멍을 뚫어 그 구멍으로 주어진 정육면체보다 더 큰 정육면체를 통과시켜라’ 하는 루퍼트의 문제를 소개한다. 정육면체에 내접하는 최대의 정사각형을 구하고, 모형을 만들어 실제로 통과시키는 과정이 유쾌하다.
세 개의 문이 있다. 그중에서 하나의 문 뒤에는 자동차가 있고. 나머지에는 염소가 있다. 내가 선택하지 않은 2개의 문 가운데 하나를 먼저 열었을 때 염소가 나온다면, 나는 이미 선택한 문을 바꾸는 게 좋을까, 아닐까? 퀴즈 게임에서 자주 볼 수 있는 ‘몬티 홀 문제’이다(224p). 교양수학 책에도 자주 나오지만 볼 때마다 헷갈리는 문제이다. 시뮬레이션과 상세한 수형도로 이해하면 좀처럼 잊지 않을 것이다.

‘생각하기’란 ‘시행착오를 거치는 것’
160여 개의 표와 그림으로 매번 반전의 논리를 친절하게 설명한다. 수학 지식이 부족하거나 수식에 자신이 없어도 그림만 보면 내용을 쉽게 따라잡을 수 있다. 풍부한 현장 경험을 가진, 한국교육과정평가원 조윤동 박사의 읽기 쉬운 번역과 세심한 역자 주가 사고와 학습의 효용을 높여준다.
엄청난 시행착오를 거쳐서야 겨우 진리에 이르게 되는데, 그것이 수학입니다. 수학에서 직감은 바로 얻을 수 있는 것이 아니고, 이렇게 세련되지 못한 작업이 쌓이고 쌓여야 비로소 얻어지는 것입니다. ‘생각하기’란 ‘시행착오를 거치는 것’과 다르지 않습니다. 그리고 그것은 살아 있는 것 그 자체라고 생각합니다. (맺음말 p.265)
이 책을 읽는 것만으로 수학 실력이 바로 늘지는 않을 것이다. 그러나 ‘생각하기’란 ‘시행착오를 거치는 것’이라는 명제를 깨닫는 순간 학습의 질은 한 차원 높아진다. 학생들에게 수학의 흥미를 돋우어주는 책이며, 특히 수학의 영재들에게는 수학자의 길로 나아가는 첫걸음이 될 수도 있다. 수학과 논리에 관심이 있거나 머릿속을 한 번 깨끗이 비워보고 싶은 사람에게도 추천한다.

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책 속 한 문장

회원리뷰

  •     수학을 싫어한다기보다는 잘 하고 싶지만, 잘 되지 않아서 포기하게 된? 그런 케이스의 사람이 '나'...

     

      수학을 싫어한다기보다는 잘 하고 싶지만, 잘 되지 않아서 포기하게 된? 그런 케이스의 사람이 '나'다. 그래도 나는 수학에 여전히 관심이 많다. 잘 풀리지 않던 문제를 몇 번이고 반복하고, 다른 방식으로 풀어서 결국 그 문제를 풀어냈을 때의 쾌감을 기억하고 있기 때문이 아닐까 싶다. 아무튼 어려울지라도 수학과 관련된 책은 일단 관심있게 보는 편이다. 그래서 선택한 책 중 하나가 <수학 사고력을 키우는 20가지 이야기>이다.

      서문에 소개되어 있듯, 이 책은 우리가 수학에서 맞닥뜨리게 되는 여러 일들을 통해 수학은 직관적인 과목이 아니며, 본질에 다가가기 위해 현상을 여러 측면에서 분석하고 헤석해야 하는 과목임을 설명하고 있다. 천재는 재능이 있기 때문에 번뜩이는 것이 아니라 많이 생각하기에 번뜩이는 것이라는 말, 문제를 끈질기게 계속 생각하고 논리를 하나하나 신중하게 따라가는 것이 정답에 다다르는 길이라는 말은 수학을 잘 하지 못하는 나에게 큰 위안이 되는 말이다. 누구나 노력하다보면 수학을 잘 할 수 있게 된다는 말이기 때문이다.

      이 책은 20개의 수학 일기를 제시하면서 각 챕터를 열어나가고 있다. 얼핏 보기에는 맞는 것 같지만 그 일기들은 각각의 오류를 품고 있다. 그리고 책에서는 각 챕터별로 그 오류가 어떤 점에서 잘못된 것인지를 이야기해준다. 어떤 오류가 있을까 생각해보고, 아, 이런 오류가 있구나. 이렇게 생각할 수 있었구나, 깨달으며 이 책을 읽는다면 분명 깨달음의 재미를 줄 것이고, 수학적인 증명, 논리에 대해 관심을 가지게 될 것이다.

      그런데 나는 이 책을 읽으면서 그닥 흥미를 느끼지 못했다. 아니, 더 정확하게 말하자면 1/5정도를 읽고 던져버렸다. 그리고 그 후에도 몇 번을 더 읽으려고 책을 들었지만, 결국 끝까지 다 읽지 못했다. 왜 그랬을까. 그 이유를(변명이 되겠지만) 한참 생각하다가 나는 나름의 결론을 냈다.

      첫째, 수학일기 자체에 나는 그닥 관심이 없다는 것이다. 작가는 수학일기를 보고 오류가 뭘까, 어떤 것이 잘못 되었을까를 고민하길 원했지만, 수학에 별 흥미를 느끼지 못하는 나로서는 그게 그리 재미있는 수수께끼가 아니었다. 그래서 그런지 아하! 하는 통찰도 없었고, 그래서 뒷심이 부족했던 것 같다.

      둘째, 문과였지만 그래도 고등학교까지 수학을 배웠는데도 내게 어려운 책이었다. 모르는 용어도 많았고, 오히려 수학을 잘 하는 사람이 읽었다면 더 재미있지 않았을까 생각이 들 정도로 내겐 맞지 않았다.

     

      그렇다면 이 책이 나쁜 책인가? 그건 아닌 것 같다. 수학적 흥미가 있고, 수학적 지식이 있는 사람이라면 충분히 20개의 수학일기를 통해 오류를 발견하려고 애쓸 것이고, 그런 호기심은 뒷 장을 넘기게 하는 힘이 생기게 할 것이기 때문이다. 통계의 즐거움, 확률의 의미 등 수학적 사고력을 키우기에 다양한 주제를 포함하고 있는 책이므로 수학에 관심이 있고 수학을 좋아하는 사람이라면 새로운 수학의 매력에 빠질 것이라고 생각한다. 다만, 나처럼 수학을 잘 하지 못하면서도 수학에 자꾸 기웃기웃 하는 사람에게는 썩 매력적인 책은 아니라는 것이다. 잘 모르는 사람에게는 농담이 농담처럼 들리지 않는 것과 같은 이치에서 말이다.

     

  • 우리는 수학의 시대를 살아가고 있다. 수학을 숫자나 산수로만 제한하여 생각한다면 이 말에 의문을 느낄 것이다. 세상 돌아가는 ...

    우리는 수학의 시대를 살아가고 있다. 수학을 숫자나 산수로만 제한하여 생각한다면 이 말에 의문을 느낄 것이다. 세상 돌아가는 상황이 빼곡하게 적힌 신문의 지면에는 활자만 가득하니 되려 국어의 시대를 살아간다는 게 더 맞을 듯 한데 수학이라니? 좀 더 자세히 이야기하자면 수학은 지면 위의 활자 속 그 이면에 숨어 있다.


    오랜만에 보는 수학 용어의 개념을 되짚으며 머리가 뱅글뱅글 도는 느낌과 함께 주어진 문제상황에 숨어 있는 다양한 요소를 고려하지 않고 액면 그대로만 보고 있던 나 자신이 갖고 있는 사고의 한계를 체험할 수 있었다. 특히 제1장 '직감을 배반하는 데이터'는 '세상물정의 물리학'과 비슷한 느낌을 받을 수 있었다. 통계물리학이라는 다소 생소한 학문이었는데 이 책과 데이터를 분석하는 방식이 유사하다. 사회현상을 파악하는데 그 이면에 숨은 다양한 요인들을 어떻게 반영하느냐에 따라 얼마든지 결과가 달라질 수 있음을 실제 사례를 통하여 보여준다. 신문 기사나 논문의 설득력을 높이기 위하여 사용되는 다양한 통계나 데이터가 얼마든지 그것을 사용하려는 자의 의도에 따라 해석의 의미가 변할 수 있음을 알 수 있다. 정보의 홍수 속에 살고 있는 우리에게 정보를 선별하는 힘, 즉 문제를 이해하고 해석하는 분석력을 바로 수학 사고력으로 기를 수 있다. 부제로 '직감, 상식, 찍기로는 안됩니다'라고 씌여져 있던 이유를 알 것 같다. 안다고 자만하여 문제에 드러나지 않은 이면을 무시하면 전혀 엉뚱한 방향의 데이터가 생성이 되는 것이다.


    그 밖에도 직감을 배반하는, 상식을 깨는, 직관을 뛰어넘는, 통념을 뒤엎는 수학 이야기를 통해 현상을 이해하는 힘의 중요성에 대해 이야기하고 있다. 창의력 문제의 단골 주제였던 맨홀 뚜껑이 원 모양인 까닭에 대한 이야기는 무척 흥미로웠다. 우드락에 정사각형, 정원을 그리고 맨홀 뚜껑이 빠지는지 직접 실험을 통하여 알려줄 수 있는 소재라 우리반 아이들에게도 정다각형을 배우면서 수업의 소재로 사용하였는데 정답이 원만이 아니었다니! 워낙 유명한 주제라 답의 다양성에 대한 의심자체를 하지 않았음에 다시 한 번 뒤통수를 맞은 느낌이었다. 나에겐 초크 모양으로 더 익숙한 뢸로 다각형에 대한 설명도 흥미로웠다. 원은 아니면서도 원과 같은 성질을 가진 뢸로 다각형은 매력적인 모양새를 가지고 있어 수학의 미를 보여주기에도 좋은 도형이 될 것이다. 얼마 전 읽었던 '천국의 문을 두드리며'에 나왔던 한붓그리기 문제가 이 책에도 등장하는데 문제에 대한 확신이 우리를 어떻게 함정에 빠뜨릴 수 있는지를 잘 보여준다. 루퍼트의 정육면체 역시 직관적으로는 이해가 되지 않았으나 수치를 계산하는 과정을 통해 이해가 되었다.


    저자는 생각하기란 끊임없이 시행착오를 거치는 것이라 한다. 나는 생각하기란 끊임없이 의문을 던지는 것이라고 말하고 싶다. 그렇구나하고 단순하게 이해하기 보다는 정말 그럴까?라고 한 번 더 생각해보는 것, 그래서 정말 그런 것을 찾아가는 것이 수학에 빠질 수 밖에 없는 치명적인 매력이다.

  •    내게 수학은 '좋다...

     

     내게 수학은 '좋다가 만 과목'이다.중학교 2학년까지는 수학 성적이 꽤 좋아서 공부하는 보람이 있었다.사칙연산을 발판으로 1,2차 방정식,사인.코사인,탄젠트까지는 상위 성적을 유지했는데,중3 하반기부터 점점 수학에 재미를 못느끼게 되다 보니 수학 성적이 점점 하위권으로 밀려나고 말았다.원인이야 내 노력과 연습부족이 크지만 막혔던 수학 문제풀이에 대해 조언과 가르침이 (사적으로)있었더라면 수학 성적은 계속 상위를 유지하고 공부하는 보람,원하는 과에 들어갈 수도 있었다고 후회가 된다.이왕 열심히 공부하여 좋은 성적,좋은 과에 들어가려면 메인 과목이 바쳐 주어야 하는데,수학 과목 성적이 저조하여 늘 불안하기만 했다.게다가 사춘기라는 연령대에 놓여 있어 신체적,심리적 방황의 시기가 맞물린 점도 집중력이 떨어지면서 성적을 올리지 못한 소이이기도 하다.

     

     사회 생활을 하면서 수학과목은 크게 유용하지는 않지만 학창 시절 배웠던 사칙연산과 분수,유리수,무리수,방정식 정도는 아직도 학생들에게 뒤쳐질 정도는 아니다.우리가 다니던 시절의 수학과목과 현재의 수학과목의 내용과 질은 크게 달라져 섣불리 풀어 본다고 손을 대다간 시간만 질질 끌다 손을 놓고 말 우려도 크다.사회 생활에선 수학 과목이 크게 필요하지는 않지만(수학 교사,연구자,학자 등 제외) 스피드를 요구하고 정확성을 요구하는 계산 부분에서는 사칙연산에 대한 기본기가 중요하다.일종의 '계수관념'을 갖춰야 한다.사칙연산을 떠나 수학적 사고력을 요구하는 경우도 왕왕 있다.어린이들이 배우는 사고력 수학의 기초부터 수학과 관련한 물리,화학 과목의 수의 법칙들이다.무턱대로 공식만 외운다고 문제가 해결되는 것은 아니다.직감과 직관,상식을 뛰어 넘는 사고력은 1차적인 현상에서 복합적인 요소들까지 통합하여 분석하고 해결해 나가야 하는 과정이 남아 있기에 그 현상에 대한 이해와 추리,통찰력이라는 사고력이 반드시 필요하다.

     

     인류 역사가 시작된 이래로 자연과학은 다양하게 발전해 왔다.그 시초는 단연 수학 과목이 아닐까 한다.기원전 4세기부터 연구되어 온 천동설은 A.D 2세기 프톨레마이우스에 의해 천동설이 체계화되고 16세기 코페르니쿠스에 의한 지동설이 나올 때까지 지구천체에 관한 이론의 체계는 시행착오의 연속이었다.지구를 중심으로 한 행성의 각도,망원경을 이용한 행성 관찰,로그(Log)라는 수단으로 빠른 계산으로 행성의 운행 법칙을 완벽하게 설명하기에 이르렀다.수학자,물리학자,천문학자들의 눈물겨운 노력과 공(功)이 후학자들에게 학문의 발판을 마련해 준 것이다.하나의 이론과 체계가 확립되기까지는 참과 거짓이 상존해 왔던 셈이다.그래서 수학 사고력에 관한 이론과 문제를 접하면서 직관과 상식으로 풀이하려들면 자칫 수학 사고력이 요구하는 본질에서 벗어나 오류와 허울로 가득찰 것이다.자연,사회 모든 현상이 본질을 품고 있기에 현상이라는 직관과 상식에서 벗어나 본질이 무엇인가를 궁리해 나가야 비로소 사고력 수학의 틀을 배양하고 본질의 함의를 빨리 터득할 수 있을 것이다.

     

     이 도서는 말그대로 수학 사고력을 기르기 위해 필요한 마음 자세 즉 직감,상식,찍기에서 탈피하여 눈에 보이지 않는 수학 주제의 본질에 가깝게 다가가고 문제해결이 쉬워질 수가 있다는 것이다.총 20개의 주제로 구성된 수학 사고력 이야기는 주제 자체가 일상에 흔히 있는 소재 위주이다.소재를 접하면 뭔가 해답이 떠오를 것 같지만 실제로는 많은 궁리와 추리,연산,논리,확률 등을 거쳐야 원하는 답을 도출할 수가 있다.물론 내 자신도 20가지의 소재들을 접하면서 어느 정도 흥미유발은 되었지만 깊이 있게 따지고 계산하고 추리하며 논리적인 사고력 과정을 거치지는 못했다.직감을 배반하는 데이터,상식을 깨는 확률,직관을 뛰어넘는 도형,통념을 뒤엎는 논리로 대별하고 있다.예를 들어 평균 수명까지 인구의 절반이 죽는 걸까,계산대가 하나 늘면 기다리는 시간은 얼마나 줄어들까,맨홀 뚜껑은 꼭 원 모양이어야 하나,곡선으로 정사각형을 채울 수 있을까 등이다.수학사고력 주제가 반드시 수학적 요소에만 국한되는 것이 아니다.지구천체,물리,화학,시대와 사회적 흐름 등의 기호와 법칙이 복잡하게 작용하면서 딱 떨어지는 정답은 없는 경우가 많다.근사치,평균치에 가깝다고 보면 된다.학창 시절 공식 하나만으로 씨름했던 내 자신이 상기되면서 '좀 더 잘했더라면 얼마나 좋았을까'라고 뒤늦은 후회를 해 본다.수학 사고력 주제와 관련하여 수학자들의 법칙,이론,가설 등을 도표와 해제를 접하면서 현상 속에 숨겨진 본질의 의미가 무엇인가를 생각하는 유익한 기회가 되었다.

  •     나는 수학이 싫어 문과를 선택했다. 수능에서 수학을 백지로 낼 수는 없어 뒤늦게 수학의 정석만을...

     

      나는 수학이 싫어 문과를 선택했다. 수능에서 수학을 백지로 낼 수는 없어 뒤늦게 수학의 정석만을 열심히 열심히 팠지만 집합부분만 새까맣게 반복하고 결국에는 정석의 반도 못 풀어보고 수능을 봤다. 어릴때부터 수학이 싫었다. 반복해서 더하고 빼는 숫자들에 무슨 의미가 있는지 알 수가 없었고, 왜 해야 하는지 필요성을 느끼지 못했다. 그러니 재미가 없었고, 이해하고 싶지 않았고, 그래서 어려웠다. 그런 내가 왜 이 책을 선택했을까.

      초등학교 수학 수업을 하면서 어린 시절의 나처럼 수학을 싫어하고 두려워하는 아이들을 많이 만났다. 그 아이들이 나처럼 수학 때문에 공부를 포기하거나 진로선택의 폭이 좁아지는 일이 없었으면 좋겠다는 생각에 수업에 놀이와 이야기를 많이 끌어들였다. 그래서 아이들이 가장 재미있는 수업으로 수학을 선택할 정도로 다양하고 색다른 수업을 하면서 내 스스로 착각을 했나 보다. 뒤늦게 내 자신이 수학적 감각을 찾았구나, 수학의 즐거움을 깨우쳤구나 하고. 그래서 <수학 사고력을 키우는 20가지 이야기>가 흥미진진한 추리소설처럼 다가설 줄 알았다. 새로운 깨달음으로 감탄을 연발할 줄 알았다. 그러나 수학 수업을 준비하는 과정이 즐겁고, 아이들과 하는 수학 활동이 재밌고 뿌듯하다고 그동안 갖지 못했던 수학적 감각이나 사고력이 갑자기 생기는 것은 아닌 모양이다.

      이 책을 읽는 동안 20개의 주제마다 대여섯번씩은 다시 앞으로 돌아가 반복한 것 같다. 앞으로 돌아가 그림이나 표를 다시 보고, 주석을 다시 읽어보고, 풀이과정을 반복했다. 그래야 이해가 되는 것이 많았고, 그럼에도 잘 이해가 되지 않는 것들도 많았다. 내용이 어려운 것도 있지만 읽다보면 주제가 뭐였는지를 자꾸 놓쳐 한권을 다 읽고 표지를 덮는데까지 오랜 시간이 걸렸다. 내게는 너무 무모한 도전이었고, 무리한 내용이었다. 수학과 담을 쌓고 살아온 내 지난 세월을 내가 너무 우습게 봤다.

      각 주제는 수학을 좋아하는 사람의 생활일기로 아주 친근하게 시작한다. 그리고 그 일기에 어떤 오류가 있는지를 수학적으로 파헤치고 예를 들어 이해시킨다. 직관이나 상식으로 문제를 대할경우 어떤 잘못을 저지를 수 있는지도 보여주며 문제를 풀어가는데 나의 경우는 20개의 주제 대부분 잘못을 저지르는 방법으로 문제를 풀고 있었다. 나는 수학을 직관으로, 감으로, 상식으로 대하는 아주 비수학적인 사람이었다. 그래서 읽는 내내 예상했던 감탄은 나오지 않고 좌절과 탄식을 거듭해야 했다.

      <수학 사고력을 키우는 20가지 이야기>는 내게 부끄러움과 스트레스만 엄청 안겨주는 책이었다. 책이 나쁜 것이 아니라 나의 선택이 나쁜 것이다. 일단은 나 자신을 바로 알아야 좋은 책을 선택할 수 있는 것 같다. 시도는 좋았지만 결과적으로 무리한 도전이었던 책이다.


     



  •   천재는 재능이 있기 때문에 번뜩이는 것이 아니라, 많이 생각하기 때문에 번뜩이는 것입니다. 수학에 '직감'이라는...

     

    천재는 재능이 있기 때문에 번뜩이는 것이 아니라, 많이 생각하기 때문에 번뜩이는 것입니다. 수학에 '직감'이라는 지름길은 없습니다. 결국 문제를 끈질기게 계속 생각하고, 논리를 하나하나 신중하게 따라가는 것이 정답에 다다르는 길입니다.

    이 말은 곧 누구나 어려운 문제를 풀 수 있음을 의미합니다. 아무리 위대한 사람이 말해도 틀린 것은 틀린 것이고, 어린아이의 말이라도 맞는 것은 맞는 것입니다.

     

    머리말에 나오는 문구이다. 너무 맘에 들고 희망을 주는 문구였다. 이 책을 읽으면 나도 수학적으로 트일 수 있는 기회를 잡을 것만 같았다.

     

    수학은 어려운 것, 수학적 머리가 없다면 쉽게 이해할 수 없는것, 한번 놓치게 되면 따라갈 수 없는 학문....

    뭐..수학은 나에게 그런 존재였다. 이과생임에도 불구하고 수학은 난제였고 항상 나의 발을 잡는 존재였다. 그래서 이번 책을 선뜻 선택하게 되었다. 나도....수학을 좋아하고 잘하고 싶다.

     

    그. 런. 데

    사실 좀 어렵다. 추천해준 사람들의 글을 읽어보면 재미있고 쉽다는데 머리를 쓰면서 읽지 않으면 그냥 글만 읽어내려가는 수준에 그치지 않는다. 생각하지 않으면 안되는 책. 그래서 더욱 집중하며 읽었던 것 같다.

     

    20개의 주제로 구성되어있고 일기로 문제를 제시하며 독자의 흥미를 끌고 있다. 이부분에 있어서 책을 놓지 못하는 아주 주요한 요인이었던 것 같다. 글머리의 일기속에는 우리가 착각에 빠지기 쉬운 부분을 제시하고 어딘가 잘못되거나 혹은 정답을 제시하며 머리를 갸우뚱 하게 한다.

     

    우리가 흔히 알고 있는 통계 이야기로 책은 시작하고 있다. 통계에서 쉽게 접할 수 있는 오류와 가설과 그것을 검증하며 책은 논리적으로 전개되어있다. 이어서 확률, 도형, 논리로 총 4개의 장으로 이어져있다.

    불경기임에도 소득이 늘어나는 이상한 데이터, 그리고 처음 알게 된 평균 여명(평균 수명은 많이 들어 알고 있으나 처음 알게됨)과 인구 규모의 지프 법칙 등...사실 처음 접하는 내용이 다반사였다. 평균이 존재하지 않는 다트, 코시분포...

    물론 이 뿐아니라 우리가 흔히 겪을 수 있는 일상사의 일들도 많이 제시하고 있다. 한번도 생각해보지 않았던 가게에 가서 기다리는 것도 수학적으로 증명이 가능했다. 계산대가 많으면 대기시간은 줄어들 수 있을지 등등 (대기행렬 이론) 재미있는 소재가 많이 제시되어있다.

     

    열거하자면 매우 많지만

    그중 내가가장 재미있게 읽었던 부분은 도형이었다. 이건 불가능할 것 같은 문제를 해결해주고 있고, 상식을 뛰어넘는 내용을 제시해주고 있었기 때문이다.

     

    (직관을 뛰어넘는 도형)

    맨홀 뚜껑은 왜 둥글게 되어있을까?

    뢸로다각형(처음 접하는 용어였음^^;)으로 설명되어있었는데 영국 50펜스동전도 이와같은 원리로 제작되어있었다. 곡선으로 정사각형을 채울 수있을지에 대한 의문...만나거나 겹치지 않도록 빈틈없이 칠할 수있을지 문제로 제시하고 그 풀이를 보여주고 있었다. 힐베르트곡선(역시 처음듣는 용어ㅋ)이 정사각형이라는것도 알게되며 문제는 해결되었다.

     

    마지막장은 확률과 수학적 난제를 제시하며 이 책은 끝이 난다.

    ---

     

    사실 어렵고 읽는데 시간이 많이 걸렸던 책이다. 누군가는 이 책이 재미있고 쉽게 읽을 수 있는 수학책이라고는 하지만...

    분명 소재는 우리의 흥미와 관심을 끌기에는 충분했으나 그 해결과정은 모르는 수학적 용어, 그래프, 계산 과정이 나와있어서 머리가 지끈거린다. 중간에 포기하고 싶기도 했으나....

    누군가에게는 재미있고 쉬운 이야기가 나에게만 어렵나?하는 오기로 끝까지 읽었던 책이다.

    결론은 읽는 내내 어려웠으나, 재미도 있고 큰 성취감을 맛보게 하는 책이다.

     

    무엇보다 이 책의 매력은 계속해서 나의 상식과 통념을 뒤엎어주며 새로운 해결과정을 제시했다는 것이다. 그 부분에있어서는 만족이 큰 책이다. 그리고 수학전공자는 나보다는 쉽게 이 책을 술술 재미있게 읽을 수 있을것 같다.^^;;

     

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