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선형대수와 군(개정판)(학부 대수학 강의 1)(양장본 HardCover)
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491쪽 | 규격外
ISBN-10 : 8952117441
ISBN-13 : 9788952117441
선형대수와 군(개정판)(학부 대수학 강의 1)(양장본 HardCover) [양장] 중고
저자 이인석 | 출판사 서울대학교출판부
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2015년 5월 15일 출간
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책 소개

상품구성 목록
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학부생들을 위한 선형대수학 교재 『선형대수와 군』. 행렬과 벡터공간, 선형사상, 군, 분해정리 등의 내용으로 구성되었으며 연습문제를 본문 안에 그대로 녹여낸 형식을 띄고 있다.

저자소개

목차

머리말
개정판 머리말

제1장 행렬과 Gauss 소거법
1.1. Matrix
1.2. Gaussian Elimination
1.3. Elementary Matrix
1.4. Equivalence Class와 Partition

제2장 벡터공간
2.1. Vector Space
2.2. Subspace
2.3. Vector Space의 보기
2.4. Isomorphism

제3장 기저와 차원
3.1. Linear Combination
3.2. 일차독립과 일차종속
3.3. Vector Space의 Basis
3.4. Basis의 존재
3.5. Vector Space의 Dimension
3.6. 우리의 철학
3.7. Dimension의 보기
3.8. Row-reduced Echelon Form

제4장 선형사상
4.1. Linear Map
4.2. Linear Map의 보기
4.3. Linear Extension Theorem
4.4. Dimension Theorem
4.5. Rank Theorem

제5장 기본정리
5.1. Vector Space of Linear Maps
5.2. 기본정리: 표준기저의 경우
5.3. 기본정리: 일반적인 경우
5.4. 기본정리의 결과와 우리의 철학
5.5. Change of Bases
5.6. Similarity Relation

제6장 행렬식
6.1. Alternating Multilinear Form
6.2. Symmetric Group
6.3. Determinant의 정의 I
6.4. Determinant의 성질
6.5. Determinant의 정의 II
6.6. Cramer’s Rule
6.7. Adjoint Matrix

제7장 특성다항식과 대각화
7.1. Eigen-vector와 Eigen-value
7.2. Diagonalization
7.3. Triangularization
7.4. Cayley-Hamilton Theorem
7.5. Minimal Polynomial
7.6. Direct Sum과 Eigen-space
Decomposition

제8장 분해정리
8.1. Polynomial
8.2. T-Invariant Subspace
8.3. Primary Decomposition Theorem
8.4. Diagonalizability
8.5. T-Cyclic Subspace
8.6. Cyclic Decomposition Theorem
8.7. Jordan Canonical Form

제9장 Rn의 Rigid Motion 241
9.1. Rn-공간의 Dot Product
9.2. Rn-공간의 Rigid Motion
9.3. Orthogonal Operator / Matrix
9.4. Reflection
9.5. O(2)와 SO(2)
9.6. SO(3)와 SO(n)

제10장 내적 공간
10.1. Inner Product Space
10.2. Inner Product Space의 성질
10.3. Gram-Schmidt Orthogonalization
10.4. Standard Basis 對 Orthonormal Basis
10.5. Inner Product Space의 Isomorphism
10.6. Orthogonal Group과 Unitary Group
10.7. Adjoint Matrix와 그 응용

제11장 군
11.1. Binary Operation과 Group
11.2. Group의 초보적 성질
11.3. Subgroup
11.4. 학부 대수학의 半
11.5. Group Isomorphism
11.6. Group Homomorphism
11.7. Cyclic Group
11.8. Group과 Homomorphism의 보기
11.9. Linear Group

제12장 Quotient
12.1. Coset
12.2. Normal Subgroup과 Quotient Group
12.3. Quotient Space
12.4. Isomorphism Theorem
12.5. Triangularization II

제13장 Bilinear Form
13.1. Bilinear Form
13.2. Quadratic Form
13.3. Orthogonal Group과 Symplectic Group
13.4. O(1, 1)과 O(3, 1)
13.5. Non-degenerate Bilinear Form
13.6. Dual Space와 Dual Map
13.7. Duality
13.8. B-Identification
13.9. Transpose Operator

제14장 Hermitian Form
14.1. Hermitian Form
14.2. Non-degenerate Hermitian Form
14.3. H-Identification과 Adjoint Operator

제15장 Spectral Theorem
15.1. 표기법과 용어
15.2. Normal Operator
15.3. Symmetric Operator
15.4. Orthogonal Operator
15.5. Epilogue

제16장 Topology 맛보기
16.1. Matrix Group Isomorphism
16.2. Compactness와 Connectedness

참고 문헌
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책 속으로

출판사 서평

개정판에서는 논리적으로 완벽하지 못한 부분을 보강하였고 책에는 없으나 실제 강의 때 언급된 설명을 추가하였다. 특히 § 5.5의 내용을 많이 보완하였고 기존에 독자들의 요청에 따라 연습문제를 보강하였다. 행 간소 사다리 꼴의 유일성은 더 기초적인 증명...

[출판사서평 더 보기]

개정판에서는 논리적으로 완벽하지 못한 부분을 보강하였고 책에는 없으나 실제 강의 때 언급된 설명을 추가하였다. 특히 § 5.5의 내용을 많이 보완하였고 기존에 독자들의 요청에 따라 연습문제를 보강하였다. 행 간소 사다리 꼴의 유일성은 더 기초적인 증명으로 대체하여 § 3.8로 옮겼다. 또 초판 제13장의 triangularization도 matrix size에 관한 귀납법 증명으로 대체하여 § 7.3으로 옮겼고, 학부 2학년 수준에 적합하지 않아서 실제 강의에서도 생략했던 초판의 §15.4(“왜 nondegenerate인 경우만?”)는 삭제하였다.

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책 속 한 문장

회원리뷰

  •  바야흐로 'AI'의 시대다. 인공지능 붐과 더불어 통계,회귀분석의 근본이 되는 선형대수학의 인기 역시 덩달아 높아지...

     바야흐로 'AI'의 시대다. 인공지능 붐과 더불어 통계,회귀분석의 근본이 되는 선형대수학의 인기 역시 덩달아 높아지고 있다. 유례없는 인기를 누리고 있는 선형대수학은, 굳이 비싼 하드커버 교과서를 구매할 필요 없이 인터넷상 사용자 상호작용 학습과, 영상, 강의 등이 넘쳐난다. 그럼에도 불구하고 초심으로 돌아가 서울대 학부 선형대수학 교과서인 「선형대수와 군」을 주목하고자 한다. 교과서부터 칸아카데미, Coursera 등 무료 인터넷 강의까지 넘쳐나는 지금, 저자는 “무언가 색다른 점이 있는 1001번째 교재”를 넘치는 자료의 바다에서 허덕이는 독자에게 소개한다.


     

     「선형대수와 군」은 서울대학교 출판문화원에서 발행한 서울대 수학과 2학년 과목의 교과서이다. 2020년 현재까지도 이공계열에서는 주로 외국 원서를 많이 사용하곤 한다. 선형대수 과목도 전 세계적으로 쓰이는 안톤의 「알기 쉬운 선형대수」와 스트랭의 「선형대수학과 그 응용」이 번역되어 있고, 프리드버그의 「Linear Algebra」 역시 번역 중에 있다고 한다. 이런 기라성 같은 교과서들 중에서도 ‘선형대수와 군’은 수많은 책들이 의도적으로 숨기는, 학생들이 어려워할 수 있는 부분, 하지만 핵심적인 내용을 고스란히 담아냈으며 이를 특유의 구어체로 맛깔나게 풀어냈다는 점에서 국내 교과서 중 낭중지추처럼 돋보인다.

     

    ● 「선형대수와 군」의 특징 

     

     먼저 내용의 충실도를 살펴보자. 대다수의 선형대수 교과서는 1장에서 중2 때 처음 배우는 연립일차방정식을 기약행사다리꼴로 바꿔 멋들어지게 푸는 방법을 소개한다. 선형대수를 배우면 복잡한 방정식을 쉽게 풀 수 있다며 신장개업한 수학 가게 앞에서 주저하는 독자를 끌어들이는 일종의 마케팅인 셈이다. 이 방법론은 사용하긴 매우 쉬워도 이론적으로 증명하기는 어렵기 때문에 보통은 이 사다리꼴의 유일성을 어물쩍 넘어가기 십상이다. 하지만 선형대수와 군은 이 문제를 끝끝내 물고 늘어져 1장의 내용을 11장에 가서 증명하는 교재 자체의 충실한 내적 연결성을 가지고 있다.

     

     

    선형대수의 주 탐구대상인 벡터를 소개할 때도 마찬가지다. 벡터는 크기와 ˱향을 가진 양으로도, 혹은 상수곱과 합을 보존하는 대수구조인 벡터공간의 원소라고 생각할 수도 있다. 벡터의 본질은 후자이지만 당연하게도 처음 접근하는 입장에서는 실생활과 연결지어 ‘힘’이라는 예시를 떠올릴 수 있는 전자의 정의가 쉽게 와 닿는다. 하지만 이러한 해석은 결국 선형대수의 본질을 이해하는데 방해가 되기도 한다. 낯섦에 질려 독자들의 책을 덮는 위험을 회피하지 않은 채 솔직하게 벡터공간을 소개하는 저자의 용기는 새삼 감탄스럽다.

     

     

    책의 후반부에서도 저자는 난이도를 고려해 연결성 있는 이야기를 일부로 끊어내지 않고 선형공간 내에서 일어날 수 있는 모든 현상을 온전히 담아냈다. 내적공간을 배우면(10장)을 자연스럽게 떠올릴 수 있는 내적의 일반화인 Bilinear form(13장)을 다루고, 대각화와 분해정리(7,8장)을 확장하는 삼각화(12장)와 Spectral Theorem(15장)을 다룬다. 빼놓지 않고 담았다는 이야기는 사실 어렵다는 이야기를 돌려 말한 것이기도 하다. 저자는 충실도와 난이도의 상충을 스스로의 사고방식을 책에 그대로 옮겨 담음으로서 여러 가지 정리의 ‘필연성’을 강조하는 방식으로 해결한다.

     

    수학 교과서를 읽다보면 중요한 정리를 천재적으로 증명한 후, 해당 정리를 이용해 문제를 기가 막히게 푸는 경우가 많다. 그럴 때면 “아, 나는 왜 이렇게 바보일까? 수학은 참으로 어려운 것이구나. “ 라는 좌절을 하곤 한다. 하지만 「선형대수와 군」은 다른 접근방식을 취한다. 저자는 책의 모든 정리와 증명은 하늘에서 떨어진 것이 아닌 수학 연구의 흐름 안에서 벡터공간이라는 대상을 더 효과적으로 다루기 위해 필연적으로 사용할 수밖에 없음을 역설한다.

     


     

    그에 따르면 이 책은 “해리 포터”와 ‘피터 팬’ 같이 서사의 흐름을 가진 ‘이야기책’에 가깝다고 표현한다. 그리고 선뜻 납득하기 어려운 주장에 걸맞게 독자에게 끊임없이 질문을 던지는 구어체를 활용한다. 무미건조한 교과서에 비해 독자에게 연습하라 명령하고, 이해도를 끊임없이 확인하는 저자의 개성이 담긴 어투는 독학에 큰 도움이 된다.

     

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    피식하면서도 등골이 서늘한 저자의 농담을 읽다보면 마치 수업을 듣는 듣한 착각이 든다.

     

     "alternating multilinear form"이라는 개념을 통해 행렬식을 유도하는 과정(4장)은 이러한 책의 특징을 단적으로 보여준다. 행렬식은 역행렬의 존재성을 판단하기 편리한 도구로 고교 과정에서부터 사용하는 친숙한 존재이다. 저자는 쉽게 행렬식이라는 도구의 공식을 암기하기를 요구하기 대신, 역행렬이 없을 때의 함숫값이 0이 나오는 함수를 임의로 설계한다면 현재의 determinant가 유일하다는 것을 독자가 스스로 떠올릴 수 있도록 차근차근 적지 않은 지면을 들여 설명한다.

     

     물론 선형대수라는 학문의 결실만을 암기하는 것 대신 수십 년에 걸쳐 수학자들이 쌓아올린 논리적 전개의 발자취를 따라가는 일은 쉽지 않다. 하지만 직접 가본 여행이 기행 다큐멘터리 시청보다 고되지만 뇌리에 박히듯, ‘선형대수와 군’을 통해 선형대수학을 진정으로 음미하는 기회가 될 것이다.

     

    「선형대수와 군」을 위한 독자는?

     

     찬사만을 늘어놓았지만 이 책의 단점 역시 존재한다. 선형대수와 군은 굉장히 친절하면서도 불친절한 이중성을 가지고 있다. 저자는 필요하다는 부분은 과하다 싶을 정도로 자세히 설명해주지만 저자 생각에 독자 스스로 생각해봐야 할 부분은 과감히 생략하고 숙제로 남겨준다. 빠르게 선형대수를 익혀 응용하고 싶은 독자, 아직 수학의 논리 전개에 익숙하지 않은 독자에게는 「선형대수와 군」이 최선의 선택이 아닐 수도 있다. 하지만 수학/통계학 자체에 관심을 두거나 선형대수를 계산의 도구가 아닌 이후 공부의 탄탄한 밑바탕으로 활용할 독자들에게는 해당 교재를 강력히 추천한다.(단지 선형대수에만 관심을 가진 독자는 11장 이후 ‘군’에 관한 내용은 생략해도 무방하다)

     

    「선형대수와 군」은 궁금한 점이 있으면 목차를 훑어 해당 페이지를 펼쳐 읽어보고 궁금증을 해소한 뒤 개운하게 닫을 수 있는 백과사전 같은 책이 아니다. 되레 이 책은 일단 출발하면 중간에 정차하지 않고 목적지를 향해 달려가는 급행열차 같은 책이다. 책 전체를 관통하는 파도 같은 논리적 흐름이 있고, 책을 읽기 위해서는 처음부터 열차에 올라타거나 궁금증만을 해소하려 중간을 펼쳤다간 열차에 치이는 불상사를 위해서 도전하지 않는 것이 좋을지도 모른다. 하지만 끝까지 ‘선형대수와 군’이라는 열차를 붙들고 있다면 그 누구보다도 먼 곳으로 탑승자를 데려다줄 것이다. 순수학문의 알찬 우리말 교과서를 읽을 수 있는 귀중한 기회를 제공하는 서울대학교 출판문화원에 감사한다.

     

    P.S. 화려한 숫자로 가득한 책 표지는 단순히 숫자의 나열이 아닌 ‘선형 합동 생성기’에 관한 연습문제다. 표지에도 문제를 담은 저자의 수학에 대한 애정이 느껴진다

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