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몬스터 대칭군을 찾아서: 현대 수학 최대의 미스터리
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335쪽 | A5
ISBN-10 : 8952210166
ISBN-13 : 9788952210166
몬스터 대칭군을 찾아서: 현대 수학 최대의 미스터리 [양장] 중고
저자 마크 로난 | 역자 심재관 | 출판사 살림MATH
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2008년 10월 9일 출간
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책 소개

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『몬스터 대칭군을 찾아서』는 2세기 동안 이뤄졌던 수학자들의 지적 모험을 통해 현대 수학의 역사를 읽는다. 현대 수학 최대의 미스터리이자 가장 흥미로운 주제인 '대칭'에 대해 이야기한다. 특히 예외적인 대칭 대상물 가운데 가장 큰 몬스터(괴물)란 존재를 깊이 분석한다.

대칭의 기초 구성물을 찾아내 대칭의 의미를 면밀히 검토한다. 에바리스트 갈루아, 소푸스 리, 존 톰슨, 존 콘웨이, 마이클 애시바커 등의 수학자들이 어떻게 대칭을 이용해 더욱 심오한 문제를 해결했는지도 알아본다. [양장본]

저자소개

지은이 마크 로난 Mark Ronan

일리노이 대학교 시카고 캠퍼스의 교수이며 유니버시티 칼리지 런던 수학과의 방문 교수이다. 베를린과 브라운쉬바이히에서 교편을 잡았고 버밍엄에서 1980년 후반과 1990년대 초반에 수학과 교수로 있었다. ‘분류 프로젝트’에 참여했고 이 책에 등장하는 주요 인사들과 개인적인 친분을 갖고 있다. 현재는 대칭을 가진 기하학 구조를 연구하고 있으며 그에 관한 다수의 논문과 교재(아카데믹 출판사, 1989)를 썼다. 그는 수학 이외에도 음악을 매우 좋아한다. 시카고의 리릭 오페라 단원으로 10여 개가 넘는 오페라에 출연했으며 <호두까기 인형>에 무용수로 출연하기도 했다.

옮긴이 심재관 manticore77@gmail.com

건국대학교 영문학과와 고려대학교 수학과를 졸업하고 미국 일리노이 대학교 어바나 캠퍼스에서 박사학위를 취득했다. 현재, 서울대학교와 고려대학교에 출강하고 있다. 옮긴 책으로는 『그림 없는 그림책』, 『타임머신』, 『케플러의 추측』, 『수학의 확실성』, 『헐하우스에서 20년』 등이 있다.

목차

서문
프롤로그

1. 테아이테토스와 정이십면체
2. 갈루아 - 한 천재의 죽음
3. 무리수 근
4. 군
5. 소푸스 리
6. 리 군과 물리학
7. 유한으로 옮겨가기
8. 세계대전 이후
9. 우클레에서 온 사람
10. 파이트-톰슨 정리
11. 판도라의 상자
12. 리치 격자
13. 피셔의 몬스터
14. 아틀라스
15. 기괴한 미스터리
16. 구성
17. 문샤인


부록 1. 황금비
부록 2. 비트 디자인
부록 3. 리치 격자
부록 4. 26개의 예외적 원자 대칭군
용어 해설
역자 후기
색인

책 속으로

“수학사 연구자들은 결투의 이유에 대해서 지금도 논란을 벌이고 있다. 젊은 부인을 두고 명예를 지키기 위해 결투를 했다고 보는 사람도 있고 영광스럽게 죽기 위해 갈루아 스스로 짜놓은 활극이었다고 보는 사람도 있다. 그러나 혁명가로서의 그의 명성은 덧없...

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“수학사 연구자들은 결투의 이유에 대해서 지금도 논란을 벌이고 있다. 젊은 부인을 두고 명예를 지키기 위해 결투를 했다고 보는 사람도 있고 영광스럽게 죽기 위해 갈루아 스스로 짜놓은 활극이었다고 보는 사람도 있다. 그러나 혁명가로서의 그의 명성은 덧없는 것이었지만 수학자로서의 그는 불멸로 남아 있다. 갈루아 이론과 갈루아 군은 오늘날 수학에서 자주 접하는 주제이다. 스무 살이라는 나이로 그는 불멸의 영광을 얻었다. 어떻게 그런 일이 가능했을까?”

“슈발리에가 마침내 댐을 허물었다. 리 군 전체를 유한군의 경우로 전환하자 다른 이들이 거대한 물줄기를 타고 휩쓸고 내려갔다. 그런 사람들 가운데 한 사람이 자크 티츠라는 벨기에 수학자였고 또 다른 사람이 캘리포니아에 있던 로버트 스타인버그였다. 두 사람은 슈발리에가 만들어놓은 집합 족 안에서 새로운 원자 대칭군 집합족들을 발견해냈고 스타인버그는 자신의 논문에 ‘슈발리에 주제에 대한 변주’라는 제목을 달았다.
한편, 일리노이 대학교 어바나 캠퍼스에서 연구 활동을 하고 있던 미치오 스즈키라는 일본 수학자가 획기적인 것을 발견했다. 스즈키는 특정한 유형의 절단면을 지닌 원자 대칭군에 대해 연구하면서 완전히 새로운 집합족을 찾아냈다. 스즈키의 연구는 슈발리에의 연구와는 별개로 진행되었다. 스즈키 집합족은, 슈발리에가 리 집합족에서 도출해낸 집합족과는 전혀 달라 보였다. 하지만 그들 집합족은 서로 연관되어 있었으며 캐나다 브리티시컬럼비아에 있던 한국 수학자 이임학이 둘 사이의 관련성을 찾아냈다. 이임학은 슈발리에 집합족 가운데서 세 개의 새로운 부집합족을 발견했고 그 가운데 하나가 스즈키 집합족임이 밝혀졌다. 이임학의 연구로 유한개의 원자 대칭군을 제외하고 모든 유한 대칭군을 찾아낸 것이다.
이들 새로운 원자 대칭군 집합족은 때를 기다렸다는 듯이, 그것도 한꺼번에 등장했다. 이런 현상은 수학에서 볼 수 있는 희한한 현상이다. 수학 분야의 이와 같은 현상을 두고 가우스는 다음과 같이 말했다. “수학적 발견에는 마치 봄철 숲 속에 피는 바이올렛처럼 제철이 있다. 사람의 힘으로 그 시기를 앞당기거나 뒤로 미룰 수는 없다.” 이렇게 새로운 집합족을 발견하고 나자 전문가들은 유한 원자 대칭군 집합족이 더 이상 없거나 아니면 찾아내야 할 집합족이 최소한 무한개가 아니라는 추측을 했다. 하지만 왜 그래야 하는지는 명확하지 않았다. 다른 집합족이 있다면 그 집합족들을 찾아내야 한다. 만일 더 이상 없다면 그 사실을 증명해야 한다. 차츰 증명이 그 모습을 드러냈다. 하지만 그 증명은 많은 이들의 논문들이 연이어 나온 후에야 윤곽을 드러냈다. 그 과정에서 더 이상의 집합족은 없지만 예외적 대상물이 존재한다는 사실이 밝혀졌다. 그런 예외적 대상물들을 찾아내고 또 그 대상물들 이외에 더 이상 다른 것들이 존재하지 않음을 증명하는 것이 과제였다. 그 과제 해결 과정에서 마침내 몬스터가 등장했다.”

“1830년경 갈루아의 연구를 시작으로 오랜 과정을 거쳐 몬스터가 모습을 드러냈다. ‘단순’ 치환군이 존재한다는 사실을 발견한 사람은 갈루아였다. 그리고 그 이후로 다수의 원자 대칭군이 발견되었다. 1960년대가 되자 19세기부터 찾아낸 다섯 개의 예외적 단순군과 더불어 대다수의 원자 대칭군이 포함된 목록을 손에 쥐게 되었다. 1963년에 파이트-톰슨 정리가 나오면서 다른 원자 대칭군을 찾아내 분류하는 일이 가능해졌고 그렇게 해서 분류 프로젝트가 생겨났다. 삼 년 뒤에 양코가 새로운 예외적 원자 대칭군을 찾아내자 이를 계기로 다른 예외적 원자 대칭군을 찾아내려는 시도가 봇물을 이루었고 그 이후로 10년 동안 20개가 발견되어 총 26개가 되었다. 두 번째로 큰 예외적 원자 대칭군인 베이비 몬스터를 피셔가 찾아냈고 베이비 몬스터에서 가장 큰 예외적 원자 대칭군인 몬스터가 나왔다.
몬스터의 발견을 낳은 연구 방법은 그 자체로는 매우 훌륭했지만 몬스터에 주목할 만한특징이 있다는 사실을 전혀 드러내주지 못했다. 나중에 몬스터와 수론 사이에 희한하게 서로 합치되는 수치들이 등장하고 나서야 그 사실을 처음으로 인지하기 시작했고 이를 계기로 끈 이론과의 연관성도 발견하게 되었다. 몬스터와 수론 사이의 문샤인 연관성을 지금은 좀 더 큰 이론적 틀 속에서 파악하고 있지만 물리학과 맺고 있는 수학적 관련성의 의의를 아직은 제대로 이해하지 못하고 있다. 몬스터를 찾아내기는 했지만 아직도 풀리지 않는 수수께끼로 남아 있다. 그 속성들을 속속들이 이해한다면 곧 우주의 기본 구조를 파악하게 될 것이다.”

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출판사 서평

196,884 차원의 눈송이를 상상할 수 있는가? 사그라지지 않는 혁명의 기운이 도시를 휘감고 있던 1832년 5월 30일 새벽, 파리 외곽에서 울린 한 발의 총성과 함께 이 위대한 탐구의 역사가 시작되었다! 더할 나위 없이 우아...

[출판사서평 더 보기]

196,884 차원의 눈송이를 상상할 수 있는가?

사그라지지 않는 혁명의 기운이 도시를 휘감고 있던
1832년 5월 30일 새벽,
파리 외곽에서 울린 한 발의 총성과 함께
이 위대한 탐구의 역사가 시작되었다!

더할 나위 없이 우아하면서 신비로운 아름다움을 가진
광대하고도 복잡한 우주의 구조를 밝힐 열쇠,
몬스터를 찾기 위한 200여년에 걸친 수학자들의 열정과 모험

여전히 현재 진행형인 이 위대한 지적 모험의 역사야말로
현대 수학의 장대한 서사시이다!

1832년 5월 30일 새벽, 한 천재의 죽음으로부터
우주의 구조를 밝힐 현대 수학의 새로운 역사가 시작되었다!


죽음을 불러 온 결투를 벌인 이유가 아직까지 명확하게 해명되지 않은 채, 아직까지 수학사가들 사이의 논란을 불러일으키고 있는 에바리스트 갈루아는 겨우 스무 살로 생을 마감했지만, 수학의 역사에서는 불멸로 살아있다. 이렇듯 낭만주의적 의미에서의 ‘천재’라는 말에 그 어떤 수학자보다 잘 어울리는 갈루아가 생전에 썼던 두 편의 논문은 당대 수학계의 거장인 오귀스탱 코시와 장 밥티스트 푸리에에게 보내졌지만, 혁명기의 혼란스러운 정치적 상황으로 망명을 해야 했던 코시는 원고를 분실하고 말았고, 푸리에는 논문을 집에 가져갔지만 곧바로 세상을 떠나버린 채, 논문은 행방불명이 되고 말았다. 이후 2세기 동안 수많은 위대한 수학자들을 지적인 모험 속에 동참하게 했던 대담하고도 폭발적인 에너지를 가진 갈루아의 기본 아이디어는 대수방정식의 해에 대한 것이다.
갈루아는 주어진 방정식의 여러 해들 사이의 대칭성 정도를 측정했고 그 대칭성 정도를 새롭고 독창적인 방식으로 사용했다. 갈루아 사망 당시에는 갈루아의 연구 내용을 아무도 이해하지 못했지만 다행히 결투 전날 밤에 쓴 편지가 없어지지 않고 남았고, 요제프 리우빌이 주석을 달아 갈루아의 편지를 출간하게 된다.
갈루아는 치환들로 이뤄진 집합을 연구했는데, 그 집합은 다음과 같은 조건을 만족한다. 두 치환을 연이어 행하여 얻은 세 번째 치환이 다시 그 집합 안에 들어 있어야 한다는 조건이다. 갈루아는 그러한 집합을 ‘군’이라고 명명했다. 예를 들어 고정된 패턴에서 닮은 부분들을 치환하는 경우에 군이 등장한다. 두 개의 치환이 각각 패턴을 보존하면 두 개를 연이어 적용해서 얻은 세 번째 치환도 역시 그 패턴을 보존한다. 주어진 방정식에서 얻은 치환군으로 갈루아는 근의 표현 방식이라는 지엽적 문제를 무시할 수 있게 되었으며, 이들 근 사이에 어떤 치환이 가능한가라는 문제에 집중함으로써 그는 나무가 아니라 숲을 볼 수 있었던 것이다.
더 이상 분해되지 않는, 기본을 이루고 있는 치환군을 소수 순환군이라고 한다. 갈루아는 방정식에서 치환군을 얻었는데 이때 핵심이 되는 내용은 그 치환군을 가능한 한 단순한 군으로 분해하는 일이었다. 이러한 갈루아의 아이디어는 이전의 라그랑주의 정리와 코시의 증명과 결합되자 그 대담하면서도 심오한 의미가 드러나기 시작했다.

현대 수학을 이끌어 온 3대 분야 중 하나인 군이론은 난해하기로 정평이 나있으며, 수학 연구자들도 군이론을 전문으로 하지 않은 이상 쉽게 접근하기 어렵다고 한다. 그 군이론 중에서도 우리의 경험적이고 물리적인 한계를 훌쩍 뛰어넘는 196,884 차원에서 구성되는 몬스터 대칭군은 감히 상상할 수조차 없는 우주 저 너머의 미지의 것으로 느껴지기 쉽다.
사실 24차원 구조를 연구하고 있었던 1950~60년대에만 해도 그 연구의 동기는 라디오 송출 문제를 해결하려는 것이었다. 이 과정에서 존 리치가 에른스트 비트 디자인을 이용하여 24차원에서 리치 격자를 만들어냈고 새로운 원자 대칭군이 존재할 것이라는 확신이 퍼져 나가게 되었다. “수학적 발견에는 마치 봄철 숲 속에 피는 바이올렛처럼 제철이 있다. 사람의 힘으로 그 시기를 앞당기거나 뒤로 미룰 수는 없다.”는 가우스의 말과 “버섯 한 송이를 발견하거나 하나의 새로운 진리를 발견했다면 주위를 잘 살펴보아야 한다. 버섯과 진리는 무리를 지어 자라나기 때문이다.”라는 게오르크 뽈야의 말과 같이 새로운 원자 대칭군이 발견되자 다시 한 무더기의 원자 대칭군이 발견되자 다시 새로운 원자 대칭군의 발견이 뒤따랐고, 원자 대칭군 중에서 가장 큰 차원인 196,884 차원에서 구성되는 원자 대칭군인 ‘몬스터’가 발견되기에 이른다.
여기까지 오기까지 200여년이라는 시간과 50여명이 넘는 시대를 달리하는 수학자들의 노력이 투여되었다. 현대 수학의 역사에 있어서 이보다 더 장대한 시간과 인원이 투여된 경우는 없다. 일종의 지상 최대의 작전이었던 셈이다. 이 지상 최대의 작전을 통해 발견된 몬스터는 그렇다면 과연 어디로 가는 길을 열어 줄 열쇠인가?
이 지점에서 20세기 전반부에 있었던 물리학에서의 두 가지 진전을 생각해보자. 상대성이론과 양자이론이 그것이다. 일반상대성이론은 블랙홀을 제외한 거시적 세계를 설명하는 데에는 유용하다. 블랙홀은 질량이 막대하기 때문에 곡률이 엄청나게 커지고 그래서 시공간에서 특이점이 생겨난다. 한편 원자와 분자 수준의 미시적 세계에서는 중력은 무시해도 좋을 정도로 매우 약하다. 물리학자들은 이 중력을 무시하는 대신에 양자이론을 만들어내야 했다. 원자의 질량 대부분은 매우 작은 원자핵에 집중되어 있고 원자핵은 양성자와 중성자라는 입자로 구성되어 있다. 많은 실험과 연구를 통해 양성자와 중성자에도 쿼크로 구성된 내부 구조가 있음이 밝혀졌다. 하지만 내부 구조를 밝히는 과정은 무한정 계속될 수 없었다. 왜냐하면 계속해서 더욱 더 적은 입자에 질량이 집중되어 있다면 결국에는 블랙홀이 나오게 될 것이기 때문이다. 아주 높은 에너지 수준에서는 양자역학과 일반상대성이론은 서로 부합하지 않게 된다.
1970년대에 새로운 이론이 출현한다. 바로 끈이론이었다. 끈이론은 입자를 시공간 속을 움직여나가는 끈으로 파악한다. 물리학자들은 이 끈이론이 양자역학과 일반상대성이론을 하나로 묶어내는 방법이라고 보고 있다. 리처드 보처즈는 1992년에 시공간 안에서 움직이는 끈을 양자화함으로써 대수적 구조를 만들어 냈고 ‘그 구조가 시공간이 26차원일 때만 영이 아님’을 보여주었다. 이를 통해 몬스터 대칭군과 수론 사이의 문샤인(moonshine) 연관성이 큰 이론적 틀 속에서 파악되기 시작하였다. 아직까지는 몬스터의 속성들이 속속들이 이해되고 있지는 못하고 여전히 풀리지 않은 수수께끼로 남아 있지만 그것을 이해하게 된다면 ‘우주의 구조 안에 의외의 방식으로 짜 넣어진’ 몬스터 대칭군이 존재함을 발견하게 될 것이며, 즉 몬스터 대칭군을 통해 우주의 기본 구조를 파악하게 될 것이다. 그리고 이 책은 바로 이 우주 구조를 이해할 수 있게 해주는 열쇠인 ‘몬스터’를 달빛에 비쳐 반짝이는 가장 우아하면서 신비스러운 아름다움을 지닌 모습으로 그려보임으로써 독자들의 상상력을 자극하는 동시에 무한하면서도 근본적인 우주에 대한 심오한 비젼을 선사해 줄 것이다.

2세기 동안 이뤄졌던 수학자들의 지적 모험을 통해
현대 수학의 역사를 생생하게 읽는다!


리우빌이 갈루아의 편지를 출간한 이후 치환군을 체계적으로 다루는 작업을 맡은 사람은 카미에 조르당이었다. 조르당으로부터 1998년 리처드 보처즈가 군이론과 끈이론의 관련성을 해명하여 수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상을 수상하기까지 근 200여년 동안 수 많은 수학자들이 유한군을 분류하는 지적인 모험에 뛰어들었고, 현대 수학의 새로운 영역을 개척해왔다. 여기에 관여하고 참여한 수학자들의 인원만도 50여명이 넘는다.
그들은 모두 현대 수학사를 다룬 미래의 교과서에 바로 카를 프리드리히 가우스나 레온하르트 오일러, 다비트 힐베르트, G. H. 하디, 앙리 푸앵카레, 폰 노이만처럼 다루어질 수학자들이다. 그리고 이 중에는 수학자로서는 최초로 2006년 제16회 과학기술인 명예의 전당 헌정 대상에 오른 고(故) 이임학 교수도 있다.

카미에 조르당, 소푸스 리, 펠릭스 클라인, 빌헬름 킬링, 프리드리히 엥겔, 엘리 카르탕, 레너드 딕슨, 윌리엄 번사이드, 부르바키, 아르망 보렐, 앙리 카르탕, 앙드레 베유, 클로드 슈발리에, 자크 티츠, 로버트 스타인버그, 미치오 스즈키, 이임학, 발터 파이트, 존 톰슨, 리하르트 브라우어, 손더스 맥 레인, 마샬 홀 2세, 츠보니미르 양코, 에밀 마티외, 에른스트 비트, 존 리치, 존 콘웨이, 그래암 히그먼, 베른트 피셔, 마이클 애시바커, 다니엘 고렌슈타인, 봅 그리스, 디터 헬트, 리처드 라이온스, 아루나스 루드발리스, 데이비드 웨일즈, 로버트 커티스, 마이클 오난, 리처드 파커, 사이먼 노턴, 로버트 윌슨, 도널드 리빙스턴, 찰스 심스, 존 맥케이, 앤드루 오그, 폴 퐁, 고프리 메이슨, 리처드 보처즈, ……

이들 중 앞서 언급한 리처드 보처즈(1998)와 존 톰슨(1970)은 군이론 분야에서의 업적을 인정받아 수학자의 최고의 영예라 할 수 있는 필즈상을 수상했다. 40세 미만의 연구자들에게만 수여되는 필즈상은 1936년부터 세계수학자연맹의 주관으로 거행되는 세계수학자대회에서 수상되며, 이 대회는 4년에 한 번씩 열린다(우리나라의 수학자들도 2014년 세계수학자대회를 유치하기 위해, 현재 브라질과 경합 중이라고 한다).
저자인 마크 로난 역시 이 모험의 역사에 있어서 이방인이 아니다. 로난은 다니엘 고렌슈타인이 주도했던 원자 대칭군을 찾아내고 분류하는 ‘분류 프로젝트’에 직접 참여한 수학자로 이 책에 등장하는 주요 인사들과 개인적인 친분을 갖고 있다. 그는 실제로 이 모험에 참여한 내부인으로서의 경험과 상세한 자료를 바탕으로 군이론의 전개 과정과 몬스터를 발견하기까지의 수학자들의 열정과 육성을, 원경과 근경을 자유자재로 왕복하면서 각 수학자들을 초점화하거나 역순적인 사건 서술 등 소설적인 기법을 활용하여 생동감 있게 전달하고 있다.
이 책에서 로난은 현대 수학자들은 어떻게 교류 협력하고 있는지, 양차 세계대전 기간을 통해 수학의 중심지는 어떻게 이동했으며, 어떻게 형성되었는지, 그리고 현대 수학을 이끌어가고 있는 수학자들은 어떤 계보를 가지고 있는지, 또한 수학자들의 개인적 성격이나 취향, 가족사, 출신 국가에 따라 그들의 연구 방식은 어떤 특징을 보여주고 있는지 등 수학사가의 테마를 대중적인 방식으로 잘 풀어 놓고 있어서 전문적 연구자들만이 아니라 일반 독자들의 입맛에도 잘 맞을 것은 의심할 여지가 없다.

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책 속 한 문장

회원리뷰

  • 대부분 일반 독자를 대상으로 하는 교양과학책이나 교양수학책은 부담없이 읽어도 되는 경우가 많다. 그러나 이 책은 상당한 사전 ...
    대부분 일반 독자를 대상으로 하는 교양과학책이나 교양수학책은 부담없이 읽어도 되는 경우가 많다. 그러나 이 책은 상당한 사전 지식과 수학분야, 특히 현대추상대수학에 상당한 이해가 뒷받침되야 이해를 할 수 있는 난해한 책이다.
     
    그러나 서문이나 출판사의 평처럼 어렵게 느끼는 추상대수학을 역사와 함께 쉽게 풀어쓰려고 노력한 책임에는 틀림없다. 군론에 대하여 사전 지식이 있거나 물리학에서 군론을 접해본 독자라면 초반에 나오는 군론의 역사 전개에 흥미를 느낄 정도로 자세하게 잘 서술했다.
     
    대수학을 전공하는 사람이라도 이론이나 기법에 몰두했지 수학사적인 접근이나 물리학과 어떻게 연관이 되는가에 대해서는 등한히 하는 경우가 많다. 이런 사람들을 위해 이책은 상당히 많은 도움을 준다.

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