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수학의 수학
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| 규격外
ISBN-10 : 8956609772
ISBN-13 : 9788956609775
수학의 수학 중고
저자 김민형 | 출판사 은행나무
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2016년 1월 13일 출간
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책 소개

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『수학의 수학』은 수의 정체에 대한 질문에서 시작해 수학이 인류 과학 발달의 역사와 시간과 공간의 발견에 어떤 역할을 해왔는지 차근차근 증명해나가는 과정을 통해 수학이 인류에게 어떤 선물을 안겨줬는지 깨달음을 얻게 해준다. 수학이 자연(시간과 공간)을 설명해주는 도구이며, 최첨단 현대과학의 기본이라는 사실을 수학적 사유를 통해 보여주는 책으로서 마냥 어렵고 복잡한 학문이라고 생각하기 쉬운 수학이 우리의 삶에 얼마나 밀접하고 필요한 학문인지를 보여준다.

저자소개

저자 : 김민형
저자 김민형 옥스퍼드대 수학연구소 교수이자 이화여대 수학과 초빙 석좌교수. 전공은 수학의 고전 분야인 ‘정수론’이다. 중학교 1학년 때 학교를 그만두고 검정고시로 서울대 수학과에 입학했다. 서울대 개교 이후 처음으로 조기 졸업하여 당시 화제가 되었다. 예일대에서 박사학위를 받았으며 매사추세츠공대, 퍼듀대 등을 거친 뒤 유니버시티칼리지런던 교수를 역임했고, 포항공대 연산 석좌교수와 서울대 수리과학부 초빙 석좌교수를 역임했다. 2011년에 한국인 수학자로서는 처음으로 옥스퍼드대 정교수로 임용되었으며, 2012년에는 호암과학상을 수상했다. 수학 대중화를 위한 ‘수학콘서트 K.A.O.S’의 메인마스터로 활동했으며, 저서로는 《소수 공상》 《아빠의 수학여행》 《수학자들》(공저)이 있다. 현재 영국에서 아내와 두 아들과 함께 지내면서, 영국과 한국을 오가며 학생들을 가르치고 있다.

저자 : 김태경
저자 김태경은 서울대 수리과학부를 졸업하고, 동 대학원에서 박사학위를 받았다. 정수론을 전공했으며, 타원곡선의 정수론적인 성질에 관심이 많아 관련 분야를 연구하고 있다.

목차

서문 _ 피타고라스의 주석 … 006
1장 피타고라스와 아르키메데스에서 현재에 이르기까지 … 009
2장 수의 정체를 찾는 모험 … 033
3장 과연 화살은 과녁을 맞힐 수 있을까? … 085
4장 평면 연산과 복소수 체계로 만나는 시공간 … 119
5장 군의 개념과 갈루아 이론이 해낸 업적 … 155
참고문헌 … 196

책 속으로

출판사 서평

수학과 과학, 철학과 역사의 크로스오버! 세상을 만든 매혹적인 수의 서사 수학을 통해서 세상을 발전시켜온 역사를 되짚고 수가 무엇인지에 대한 궁극적인 질문에 답하다! 수학은 인류에게 어떤 선물을 주었을까? 수학으로 세상을 말한다. ...

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수학과 과학, 철학과 역사의 크로스오버!
세상을 만든 매혹적인 수의 서사

수학을 통해서 세상을 발전시켜온 역사를 되짚고
수가 무엇인지에 대한 궁극적인 질문에 답하다!

수학은 인류에게 어떤 선물을 주었을까?

수학으로 세상을 말한다. 쉽고 재밌는 수학과 철학 이야기를 담은 에세이《아빠의 수학여행》으로 독자들과 소통하고, 수학자들의 난제 중 하나인 ‘소수’를 파헤친 책 《소수 공상》과 수학콘서트 ‘K.A.O.S’를 통해 수학 대중화에 힘써온, 옥스퍼드대 수학연구소 김민형 교수의 본격 수학 교양서인 《수학의 수학》이 출간되었다(은행나무 刊). 이 책은 수의 정체에 대한 질문에서 시작해 수학이 인류 과학 발달의 역사와 시간과 공간의 발견에 어떤 역할을 해왔는지 차근차근 증명해나가는 과정을 통해 수학이 인류에게 어떤 선물을 안겨줬는지 깨달음을 얻게 해준다.
수학이 자연(시간과 공간)을 설명해주는 도구이며, 최첨단 현대과학의 기본이라는 사실을 수학적 사유를 통해 보여주는 책으로서 마냥 어렵고 복잡한 학문이라고 생각하기 쉬운 수학이 우리의 삶에 얼마나 밀접하고 필요한 학문인지를 보여준다.

수학의 가장 기초인 ‘수’를 정복함으로써 수학과 자연의 본질에 접근
이 책의 서문은 이렇게 시작한다. 저명한 수학자들이 모여 있는 자리에서 ‘수학’은 발견되는 것인가, 발명되는 것인가, 질문했을 때 프랑스 고등과학원에서 연구하는 막심 콘세비치는 다음과 같이 대답했다고 한다. “뛰어난 수학은 당연히 발견된다. 발명되는 수학도 있으나 그런 수학은 대체로 잊어버리는 것이 좋다.” 김민형 교수도 이에 동의를 표한다. 동시에 수학은 무엇인지, 아주 기초적으로 이야기하면, ‘수’는 무엇인지 질문을 던지고, 이 책을 통해 이야기해보자고 제안한다. 도대체 수는 어떤 것이며 우리는 어떻게 수를 인식하고 분별할 수 있을까.
정수론의 대가인 김민형 교수가 증명과 사유를 진전시키고, 마찬가지로 정수론을 전공한 김태경 박사가 엮은 《수학의 수학》은 구체적인 사례와 흥미를 돋우는 사고의 과정을 통해서 점차 ‘수학의 본질’에 다가간다. 수의 기초부터 시작해서 수의 개념을 재검토하면서 어떤 이유로 인류 역사 속에서 과학적 사고에 필요한 수 체계가 지금처럼 확장되어 왔는지에 대해 살펴본다. 그렇게 얻어낸 결론은 수는 자연에 있고 자연에서 발견된 것이며 자연을 이해하기 위한 시도는 수로 귀결된다는 것이다. 여기서 말하는 자연은 물리학과 양자역학 등 과학의 아주 기본 배경을 말하며, 우리가 살아가는 시간과 공간 그 자체를 말한다.

“수천 년 전에 피타고라스는 ‘모든 것이 수’라는 격언을 남겼었다. 우리가 이 책에서 하고자 하는 이야기는 피타고라스의 이론에 덧붙이는 긴 주석일 뿐이다.” _서문 중에서

제1장 ‘피타고라스와 아르키메데스에서 현재에 이르기까지’에서는 정수의 개념부터 따져본다. 정수 1, 2, 3처럼 셈하기 어렵지 않거나 개념을 이해하는 것이 쉬운 수도 있지만, 수의 체계를 공부할수록 이해하기 어려운 수들이 점점 많아진다. 가령, 처음 배울 때는 음수의 개념만 해도 이해하기 조금 까다롭다. 그런데 한층 더 고등한 사고를 요구하는 것이 무리수 개념이다. 이런 까다롭고 다양한 수의 예를 통해 ‘수는 연산할 수 있는 것이다’라는 소결론을 도출한다. 연산할 수 있다면 모든 것이 수인 것이다.
그리하여 제2장 ‘수의 정체를 찾는 모험’의 마지막 증명에 따라 반도체 소자도 수고, 물질의 입자도 수다. 이 증명 과정을 통해 물리학과 양자역학의 기본 개념을 이해할 수 있다. 제3장 ‘과연 화살은 과녁을 맞힐 수 있을까?’에서는 무한급수의 무한한 합은 유한한 값이 된다는 증명으로 “아킬레우스는 거북을 영원히 따라잡을 수 없다”는 제논의 역설의 허점을 짚어낸다. 그리고 우리가 화살이 활에서 떠나 과녁에 도착할 때까지의 직선 상의 값을 계산할 수 있는 것처럼 시간의 흐름도 수로 보여줄 수 있다는 사실에 도달한다.
제3장에서 유리수와 무리수의 합인 실수의 체계를 가져와 직선 연산에 대해 보여주려 했다면 제4장은 2차원의 실수와 허수, 즉 복소수를 가져와 세계 평면 연산에 대해 증명한다.
제5장 ‘군의 개념과 갈루아 이론이 해낸 업적’에서는 현대수학에서 가장 중요한 개념 중 하나인 ‘군’에 대해서 살펴보고 군의 이론을 정리한 갈루아의 업적에 대해 언급하면서 군론이 현대물리학에 얼마나 중요한 아이디어를 제공했는지 살펴본다. 김민형 교수는 “20세기 현대물리학에서 요구되는 수학적 구조가 19세기에 이미 수에 대한 세밀한 연구를 통해서 개발되어 있었던 사건은 과학 역사의 기적적인 에피소드”라고 평하면서 수학과 과학의 환상적인 조합으로 해낸 인류의 업적에 대해 탄복하는 것으로 마지막 장을 마무리한다.
이 책은 단순히 어렵고 복잡한 수학적 증명을 나열하는 것이 아니라, 수학의 역사에서 수학자들이 발견해왔던 대로 그 사유의 궤적을 좇으면서 결국 수학을 통해 직선, 평면, 시공간을 이해해온 인류 학문의 역사를 이해할 수 있게 돕는다. 수학이 왜 필요한지 궁금한 독자에게 권하고 싶은 책이다.

인류가 수를 통해서 시간과 공간에 대한 인식을 넓혀왔던 이야기를 하고, 수가 무엇인지에 대한 구체적인 질문을 통해서 한번 접근해보려고 합니다. 어려운 공식을 써서 수학 난제를 해결하는 것이 아니라, 단순히 수가 무엇인지에 대한 탐구이니까, 이것은 수에 대한 철학이라고 봐도 좋겠습니다. _김민형 교수

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  • 책읽기 삶읽기 230 과자 한 조각을 넷으로 나누려는 셈놀이 ― 수학의 수학  김민형·김태경 글 &nb...


    책읽기 삶읽기 230



    과자 한 조각을 넷으로 나누려는 셈놀이

    ― 수학의 수학

     김민형·김태경 글

     은행나무 펴냄, 2016.1.13. 12000원



      작은아이가 “동그란 과자 하나 먹어도 돼요?” 하고 묻습니다. “하나만?” “응. 하나만.” 아이는 동그랗게 생긴 모습으로 하나를 먹고 싶다 말합니다. 그러면 동그란 모습을 작게 잘라낸 조각은 그대로 하나일까요, 아닐까요?


      동그란 과자가 하나만 있을 적에 아이한테 되묻습니다. “하나만 있는데 어떻게 하지? 네 사람이 먹으려면 어떻게 해야 할까?” 넷을 알맞게 잘라서 조각을 내면, 넷이 ‘모두 하나씩’ 받을 수 있습니다. 하나는 넷이 됩니다. 또는 두 사람이 안 먹고 두 조각으로 내면 둘이서 ‘저마다 하나씩’ 받습니다. 하나는 하나이면서 넷이 되다가 둘이 되지만 늘 하나입니다.



    수가 무엇인지에 대한 피타고라스의 대답은 “모든 것이 수이다”라는 피타고라스의 유명한 언설에서 잘 나타나고 있다. 이는 바꾸어 말하자면 우리의 모호한 질문에 대해서 우주의 모든 삼라만상을 이루는 기본 요소가 바로 수라는 답을 준 것이다. (15쪽)


    물리학자들은 힘이 무엇인지에 대한 질문을 제쳐두고 먼저 적절히 수학적으로 공식화한 다음, 그것의 성질을 공부하기 위해 힘을 측정하는 방법을 생각하고 관련된 이론을 전개해 나갈 뿐이다. (19쪽)



      김민형 님과 김태경 님이 함께 쓴 《수학의 수학》(은행나무,2016)을 읽습니다. ‘세상에서 가장 아름다운 수학 강의’라는 이름이 붙은 책입니다. 우리 삶을 둘러싼 수(숫자)를 수식과 이야기로 풀어내는 책이니, 어느 만큼 수식이 익숙할 때에 이 책에서 들려주는 이야기를 알아들을 만하리라 봅니다.


      아이들은 아직 수식을 모르니 이 책을 읽을 수 없습니다. 수식을 알 만한 청소년이나 어른이라면 혼자서 읽을 만할 테고, 아이들한테는 어른이 먼저 읽고서 이야기를 들려줄 만하리라 생각해요.


      《수학의 수학》에 나오는 피타고라스 이야기를 읽다가 문득 ‘구고 정리’를 떠올립니다. 나는 고등학교를 마치도록 ‘구고 정리’ 이야기를 듣거나 배우지 못했습니다. 고등학교를 마친 뒤에 《한국수학사》(김용운·김용국 씀)라는 책을 읽으면서 이때에 ‘구고 정리’를 처음으로 알았어요. 피타고라스보다 훨씬 앞서 중국에서 갈무리했다는 수학 이야기예요. 《한국수학사》를 읽으면 한국에서도 오랫동안 수학을 가르치거나 배웠다는 이야기가 나와요. 그러나 학교에서는 이런 이야기를 가르치거나 알려주지 않습니다. 교과서에 나오는 수학은 모두 서양 수학이고 서양 이야기였어요.



    처음에 제기되었을 때는 너무나도 어려웠던 개념들, 어려운 연산들이 인류가 점점 이해의 폭을 넓혀 오면서 자연스럽게 받아들여지고, 결국 집단의 미성년들에게 지식으로서 전달하게 되는 일은 위와 같이 너무나 흔한 일이다. (32쪽)


    어려워 보이는 문제를 일시적으로 더 어렵게 만든 것이 쉬운 답을 이끌어내는 실마리가 된 것이다. (44쪽)



      내가 학교에 다닐 무렵을 돌아보다가, 우리 아이들하고 함께 공부를 하는 요즈음을 헤아립니다. 수학을 익히든 철학을 배우든, 서양 수학이거나 한국 철학이거나 대수롭지는 않다고 느껴요. 우리는 그저 수학을 익히거나 철학을 배울 뿐이니까요. 누가 먼저 찾아낸 연산이나 수식이든, 이러한 연산이나 수식을 삶에 받아들이면서 살림을 가꾸는 길에 쓸 수 있을 때에 ‘아름다움’을 이루지 싶어요. 《수학의 수학》에서도 말하듯이 “집단의 미성년들에게 지식으로서 전달(32쪽)”하는 일은 어른이자 어버이로서 기쁨이면서 아름다운 보람이 된다고 느껴요.


      아이들한테 수(숫자)를 가르치고 말을 가르치며 살림살이를 가르치는 동안 생각을 북돋우거나 가꿉니다. 하나부터 백까지 모든 숫자를 더하는 길을 아주 쉽게 풀어낸 가우스 이야기는 바로 생각을 가꾸고 살림을 북돋우는 길을 밝히는 숱한 보기 가운데 하나예요. 이른바 “어려워 보이는 문제를 살짝 더 어렵게 바꾸어 외려 쉽게 풀이법을 찾는” 길이 나오거든요.


      이를테면 이런 보기를 들 만해요. 가우스는 ‘(1+100) + (2+99) + …… (50 + 51)’을 묶음으로 바라보았다면, 짐을 나를 적에도 ‘하나부터 백에 이르기까지’ 따로따로 들어서 나르기보다는, 알맞은 부피와 무게를 살펴서 함께 들어서 나를 수 있어요. 때로는 수레를 빌어 짐을 나를 수 있지요. 수레를 쓰든 어깨에 짐을 얹든, 왼쪽과 오른쪽이 무게가 어우러져야 하고, 앞과 뒤에도 무게를 골고루 나누어야 해요. 이러한 일이나 살림도 모두 수(숫자)라고 할 만합니다.



    ‘수가 무엇이냐’에 대한 답을 주려고 할 때 어떤 것이 ‘수’라는 성질이 그 물체 자체에 의해서 정해지는 것이 아니라는 것이다. 앞서 보았듯이 처음에는 수와 아무런 관련도 없어 보이는 곡면이나 곡선, 반도체에도 연산을 줄 수 있었다. 그것보다는 수 체계를 이루는 자연스러운 집합 속에 들어가는 것이 수라는 것이 답이다. (73쪽)



      과자 한 조각을 넷으로 나누면 네 조각입니다. 네 조각을 붙이면 한 조각입니다. 하나는 넷이 될 수 있고, 넷은 하나가 될 수 있습니다. 한 조각씩 받은 네 사람은 이 조각을 둘로 나누어 모두 여덟 조각이 되도록 할 수 있는데, 여덟 조각을 나란히 붙이면 다시 하나가 됩니다. 작은 조각은 더 작은 조각으로 쪼갤 수 있고, 그야말로 수없이 작은 조각으로 가를 수 있으니, 작은아이가 “과자 하나만?” 하고 물을 적에 잘게 자른 조각을 건네면서 “자, 여기 ‘하나’야.” 하고 말할 수 있어요. 또는 “아까 네가 먹어서 뱃속에 있는 ‘하나’가 있는걸?” 하고 말할 수 있습니다.


      밥 한 그릇에 쌀알이 몇이 들어갈까 하고 헤아리는 놀이를 할 수 있습니다. 나락 한 알에서 볍씨를 몇 알을 얻을 수 있을까 하고 살피는 놀이를 할 수 있어요. 이 두 가지를 해 본다면, 네 사람이 한 해 동안 먹는 쌀알 숫자를 가늠하면서, 네 사람이 논을 부칠 적에 나락을 몇 포기 심어야 하고, 논을 얼마만한 넓이로 가꾸어야 하는가를 셈할 수 있습니다.



    복소수가 진정한 수 체계로 받아들여진 것은 복소수가 자연계에서 발견된 20세기부터가 아닌가 싶다. 특히 물질의 미세 구조를 묘사하는 양자역학은 복소수 없이는 불가능한 이론이다. 양자역학에 의하면 물리적인 시스템의 물리량들은 확실하게 값이 정해지지 않고 그것의 어떤 확률적인 분포밖에 알 수 없다고 한다. (150쪽)



      《수학의 수학》이라는 책을 덮으면서 ‘수(數)’라는 낱말을 곰곰이 돌아봅니다. 이 한자는 ‘세다’를 뜻합니다. ‘세다’에서 ‘셈’이 나오고, 컴퓨터를 가리켜 ‘셈틀’이라 일컫기도 합니다. ‘세다’는 ‘헤다’와 같은 낱말이며, ‘헤다’에서 ‘헤아리다’가 나왔으며, ‘헤아리다’는 ‘생각하다’와 같은 낱말이기도 합니다. 한국말사전에서 ‘수’를 찾아보면 “1. 셀 수 있는 사물을 세어서 나타낸 값 2. [수학] 자연수, 정수, 분수, 유리수, 무리수, 실수, 허수 따위를 통틀어 이르는 말”이라고 풀이합니다. “세어서 나타낸 값”이니 ‘셈값’이 ‘수’라는 뜻이겠지요.


      그래서 날을 세면서 ‘하루 이틀 사흘’ 같은 말이 태어나고, 얼마나 있느냐를 세면서 ‘하나 둘 셋’ 같은 말이 태어납니다. 우리가 서로 나누는 꿈이나 사랑은 ‘셀’ 수는 없습니다만, ‘생각할’ 수는 있습니다. 다만 도표나 통계로 꿈이나 사랑을 나타낼 수는 없어도 마음속에 그림으로 그려 보일 수 있어요.


      ‘1 2 3’처럼 적는 글씨는 상징처럼 적는 기호입니다. ‘ㄱ ㄴ ㄷ’ 같은 글씨도 상징과 같은 기호이고요. 수학을 익히거나 배운다고 할 적에는 ‘삶자리에 있는 것’을 마음속으로 그리면서 나타내 보이려고 한다는 뜻이리라 느낍니다. 삶자리에 있는 것을 글씨(한글 같은 글씨)라는 기호로 옮겨서 마음을 나타내듯이, ‘1 2 3’이든 ‘하나 둘 셋’이든 ‘하루 이틀 사흘’이든, 이러한 기호를 빌어서 우리가 누리거나 이루는 삶을 그려서 나타내는구나 싶어요.


      모든 것은 셀 수 있고, 모든 것은 생각할 수 있습니다. 아니, 모든 것은 ‘세면’서 우리 앞에 나타나고, 모든 것은 우리가 스스로 ‘생각하’기에 우리가 느끼거나 알 수 있구나 싶어요. 어버이자 어른으로서 아이한테 수학을 가르치고 함께 배운다고 할 때에는 바로 이 대목 ‘세는 힘’과 ‘생각하는 슬기’를 북돋우려는 뜻이지 싶습니다. ‘세는 놀이’를 하면서 수학을 익히고, ‘생각하는 즐거움’을 헤아리면서 수학을 배웁니다. 4349.2.10.물.ㅅㄴㄹ


    (최종규/숲노래 . 2016 - 시골에서 책읽기)




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