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수학이 필요한 순간(양장본 HardCover)
328쪽 | 양장
ISBN-10 : 1186560789
ISBN-13 : 9791186560785
수학이 필요한 순간(양장본 HardCover) [양장] 중고
저자 김민형 | 출판사 인플루엔셜
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2018년 8월 3일 출간
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책 소개

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우리 안의 수학적 사고를 발견하다! 한국인 최초 옥스퍼드 대학 정교수이자 세계적인 수학자 김민형 교수의 명강의 『수학이 필요한 순간』. 인간의 사고 능력을 확장시켜온 수학이라는 장대한 세계에 관한 7개의 명강의를 담은 책이다. 옥스퍼드 수학과의 명강의를 포함하여 저자가 한국에서 진행한 각종 수학 강의의 내용을 바탕으로 탄생한 것으로, 마치 강연의 현장에 찾아온 듯 수학에 대해 묻고 답하는 세밀한 대화로 가득하다.

우리가 인문학의 문제라 여겼던 윤리적 판단에서부터 우주의 무한한 세계에 이르기까지 인간이 세상을 이해하는 데 수학이 필요하지 않은 순간이란 없다. 저자는 기본적인 수학의 원리부터 정보와 우주에 대한 이해, 윤리적인 판단이나 이성과의 만남 같은 사회문화적인 주제에 이르기까지 수학이라는 방대한 세계에 대해 평생을 걸쳐 탐구해온 주제를 녹여 우리에게 보여준다. 세상 모든 순간을 이해하는 데 바탕이 되는 수학적 사고의 정수를 담은 이 책을 통해 우리에게 수학적으로 세상을 바라보는 기쁨, 깊고 넓은 시야로 세상을 읽어내는 그 순수한 지적 즐거움을 만끽할 수 있게 한다.

저자소개

저자 : 김민형
저자 김민형은 영국 옥스퍼드대학교 머튼칼리지 교수이자 서울고등과학원 석학교수이다. 낭만주의 영시를 외우고, 쇼팽의 악보에서 수학적 아름다움을 말하는 그는, 한국을 대표하는 인문학자 김우창 교수의 차남이기도 하다. 중학교 1학년 때 몸이 아파 학교를 쉰 것을 계기로 혼자 집에서 공부하며 서울대학교 수학과에 입학했다. 서울대 개교 이래 첫 조기 졸업생이며, 예일대학교에서 박사학위를 받았다. 매사추세츠공과대학 연구원, 퍼듀대학교, 유니버시티칼리지 런던 교수를 거쳐 포스텍의 석좌교수, 서울대학교와 이화여자대학교 초빙 석좌교수를 역임했다. 2011년 한국인 수학자로서는 최초로 옥스퍼드대 수학과 정교수로 임용되었고, 2012년 호암과학상을 수상했다.
김민형 교수는 ‘페르마의 마지막 정리’에서 유래된 산술대수 기하학의 고전적인 난제를 위상수학의 혁신적인 방식으로 해결하여 세계적 수학자의 반열에 올랐다. 오일러 도서상을 수상한 수학자 조던 엘렌버그는 그를 두고 “약 3천 년간이나 수와 수체계의 이론을 연구해왔지만 실제 탄생한 이론은 많지 않다. 누군가 진짜 새로운 방식으로 그 작업을 해낼 때마다 큰 사건이 된다. 김민형이 그 일을 실제로 해냈다”고 평했다.
현재 영국에 체류 중이며, 한국을 오가며 본인의 연구 외에도 일반인들에게 수학의 세계를 안내하는 작업을 활발하게 하고 있다. 초등학교 수학영재, 직장인, 대기업 임원, 심지어 수학과 무관해 보이는 발레 전공자에게까지 수학을 가르치는 활동을 하고 있다.
그는 수학 대중화를 위한 ‘수학콘서트 K.A.O.S’의 메인마스터로 활동했으며, 웅진재단, 네이버커넥트재단 등에서 수학영재를 위한 강의 및 멘토링 프로그램을 기획하고 참여했다. 지은 책으로《수학의 수학》,《소수 공상》, 《아빠의 수학여행》,《수학자들》(공저) 등이 있다.

▶ 수학은 세상을 어떻게 움직일까? 수학자 김민형이 말하는 피타고라스와 수의 발견 [Full 버전]
교보문고XtvN 인사이트 2020 명강의Big10
https://youtu.be/fBRY-6SgYzI

목차

지은이의 말
이 책을 펴내며

시작하며
수학은 인간의 직관에 영향을 미칩니다. 확률 이론은 17세기에야 시작되었지만 지금 사람들은‘ 37%의 비 올 확률’을 읽고 이해하는 데 무리가 없습니다. 오늘날 인간이 가진 상상력에 차이가 있다면, 그것은 수학적인 이해력의 차이 때문일 것입니다.

1강 수학은 무엇인가
갈릴레오는 말했습니다. “우리가 우주를 이해하기 위해서는 우주에 관해 쓰여 있는 언어를 배우고 친숙해져야 하는데, 그 언어는 수학적인 언어다.” 수학은 특정한 종류의 논리나 사고가 아니라, 우리의 일상과 우주를 이해하는 상식에 다름 아닙니다.

2강 역사를 바꾼 3가지 수학적 발견
페르마와 데카르트의 좌표계, 아인슈타인의 상대성 이론 등 위대한 발견들을 살펴보다 보면 수학적 사고가 왜 필요한지 느낄 수 있습니다. 지금 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 앞으로 어떤 질문을 원하는지를 찾아가는 것입니다.

3강 확률론의 선과 악
하이드파크에서 10명이 살해되었다. 이 일은 큰일일까요, 아닐까요? 한 사람이라도 죽으면 안 되겠지만, 수만 명을 죽음으로 몰 수도 있었던 테러를 막는 과정에서 10명이 희생되었다면? 이런 윤리적인 판단 속에도 수학의 확률이 작동하고 있습니다.

4강 답이 없어도 좋다
대표자를 뽑는 가장 좋은 방법은 뭘까요? 수많은 선출 방법을 살펴보면, 방법마다 완전히 다른 결과가 나올 수 있음을 알 수 있습니다. 그러면 이 방법들은 다 틀린 걸까요? 완벽하지 못하다고 해서 포기하기보다는 제한적인 조건에서 이해하는 것이 수학적으로 중요합니다.

5강 답이 있을 때, 찾을 수 있는가
19세기 청혼 문화를 알고 있지요? 남녀가 청혼, 약혼, 파혼, 결혼이라는 단계를 거치면서 짝을 찾는 겁니다. 만약 남녀 각각 100명이 짝을 지을 때 안정적인 답이 있을까요?‘ 좋아하는 마음은 복잡해도 답은 항상 있습니다.’ 답이 있다는 걸 수학은 도대체 어떻게 증명할까요.

6강 우주의 실체, 모양과 위상과 계산
우주가 휘어져 있다고 합시다. 이를 말로 표현할 수는 있어도 정확하게 알기는 어렵습니다. 내면 기하라는 개념이 없이는 우주가 휘어졌다는 주장을 하기 불가능합니다. 상상할 수 없는 것을 상상하는 것은 어떻게 가능하게 될까요.

마치며
수학은 정답을 찾는 일이 아니라, 인간이 답을 찾아가는 과정입니다. 우리는 답을 맞히려고 하지 틀리려고 하지 않습니다. 그런데 틀리기 싫어하면 어떤 질문이 가진 오류도, 어떤 방법이 가진 한계도 발견하기 어렵습니다 .

특강 숫자 없이 수학을 이해하기
수학이라고 하면 숫자가 제일 먼저 떠오릅니다. 엄밀히 말해 숫자와 수는 다릅니다. 수는 수체계를 이루는 여러 원소 중 하나입니다. 우리는 숫자를 전혀 사용하지 않고도 연산을 할 수 있습니다.

추천의 말

책 속으로

지금 우리에게 다소 어려운 문제들도 언젠가는 상식이 될 것입니다. 오늘날 인간이 가지고 있는 지능과 상상력에 어떤 차이가 있다면, 그것은 수학적인 이해력의 차이 때문일 것입니다. 반대로 어떤 새로운 사고가 공통된 상식이 되는 과정도 수학적인 이해력을 ...

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지금 우리에게 다소 어려운 문제들도 언젠가는 상식이 될 것입니다. 오늘날 인간이 가지고 있는 지능과 상상력에 어떤 차이가 있다면, 그것은 수학적인 이해력의 차이 때문일 것입니다. 반대로 어떤 새로운 사고가 공통된 상식이 되는 과정도 수학적인 이해력을 바탕으로 가능하게 될 것입니다.
-‘시작하며’ 중에서

제가 대학에서 수학을 전공하러 온 학생들 중에서도 수학적인 증명이 무슨 특별한 사고라고 생각하는 학생들이 굉장히 많습니다. 하지만 증명은 특별한 기술을 요구하는 것이 아니라, 그냥 명료하게 설명하는 것입니다. 보통 우리가 말하는 ‘분명하게’와 다를 바가 없습니다.
-1강 ‘수학은 무엇인가’ 중에서

우리는 살면서 여러 질문을 하죠. 그런데 질문을 하면서도 어떤 종류의 답을 원하는지 분명치 않을 때가 많습니다. 가령 x를 구한다고 했을 때 답이 만족스러운 답일 수도 있고 불만족스러운 답일 수도 있습니다. 그런데 사실 뉴턴의 경우처럼 어떤 답을 우리가 만족스러운 답으로 받아들이느냐 자체가 분명치 않은 경우가 더 많습니다. 따라서 과학적인 이론을 전개하는 과정에서‘ 적당한 답의 틀’을 만드는 것 자체도 중요합니다.
-2강 ‘역사를 바꾼 3가지 수학적 발견’ 중에서

여러분은 선한 사람입니까? 악한 사람입니까? 그런 판단은 무엇을 기준으로 내릴 수 있을까요? 어려운 사람을 많이 돕는 사람이 선한 사람일까요? 아니면 법을 어기지 않는 사람이 선한 사람일까요? 저는 가끔 학생들에게 이런 질문을 합니다. 가령 작년에 런던 하이드파크에서 총 10명이 살해됐다. 이는 큰일일까요, 아닐까요?
-3강 ‘확률론의 선과 악’ 중에서

수학사에는 틀린 증명과 틀린 정리가 굉장히 많습니다. 그런데 오히려 그 수많은 실패가 현상을 이해하게 하는 데 더 큰 도움을 주곤 합니다. 우리에게 주어진 제약이 무엇인가를 확인하게 하기 때문입니다.‘ 애로의 불가능성 정리’ 역시 제한점을 마련하고, 거기서 끝난 것이 아니라 이후 연구자들에게 지표가 되어주었습니다.
-4강 ‘답이 없어도 좋다’ 중에서

이 질문에 대한 요점은 찾을 수 있다는 것뿐만 아니라 ‘효율적으로’ 찾을 수 있다는 것입니다. 상당히 많은 수학적인 문제가 세 가지 이슈를 한꺼번에 가지고 있습니다. 첫 번째는 해가 있느냐 없느냐, 두 번째는 찾을 수 있느냐, 세 번째는 찾을 수 있어도 효율적으로 찾을 수 있느냐. 누구는 효율적으로 느끼고 누구는 비효율적으로 느끼는 방식이 아니라 객관적인 의미를 부여할 수 있는 효율성이라는 게 있을까요? 이 효율성의 정의와 그에 관련된 이론은 수학과 계산과학에서 상당히 활발히 연구되고 있기도 합니다.
-5강 ‘답이 있을 때, 찾을 수 있는가’ 중에서

일반 상대성 이론에 따르면, 중력을 느낀다는 것 자체가 시공간의 곡률을 느끼는 과정이라고 봅니다. 시공간이 휘어졌기 때문이라는 겁니다. 여기서 중요한 건 기본적인 착안입니다. 공간이 휘어서, 우주가 휘어서 중력을 느낀다면, 그럼 우주가 휘어졌다는 게 뭘 의미하는가? 이걸 그럴싸하게 말로 표현할 수는 있어도 사실 직관적으로도 알기 어렵습니다. 우주가 휘어졌다는 게 무슨 뜻인지 알기 어려운 이유가 뭘까요? 우리가 우주 안에 있기 때문이 아닐까요. 우리는 우주의 밖에서 우주를 들여다볼 수 없으니까요. 그렇기 때문에 내면기하의 개념 없이 우주가 휘어졌다는 주장을 하기가 불가능한 겁니다.
-6강 ‘우주의 실체, 모양과 위상과 계산’ 중에서

일상의 문제에서도 정답부터 빨리 찾으려고 하기보다 좋은 질문을 먼저 던지려고 할 때, 저는 그것이 수학적인 사고라고 생각합니다. 어쩌면 대범하게도 수학적 사고를 통해서만 우리는 좋은 질문을 던질 수 있고, 우리가 찾은 답이 의미 있는지 확인할 수 있다고 말할 수 있습니다
- ‘마치며’ 중에서

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출판사 서평

“결국 모든 삶은 수학적으로 사고할 수밖에 없습니다” 인간의 사고 능력과 우주에 대한 탐구를 현대 수학으로 풀어낸 7개의 강의 _세계적인 수학자 김민형 옥스퍼드대학 교수의 아름다운 명강의 _네이버커넥트재단, 카오스재단을 휩쓴 화제의 강...

[출판사서평 더 보기]

“결국 모든 삶은 수학적으로 사고할 수밖에 없습니다”

인간의 사고 능력과 우주에 대한 탐구를
현대 수학으로 풀어낸 7개의 강의

_세계적인 수학자 김민형 옥스퍼드대학 교수의 아름다운 명강의
_네이버커넥트재단, 카오스재단을 휩쓴 화제의 강의를 책으로 만나다


우리가 익숙하게 사용하는 연산, 매일 이야기하는 확률, 쉽게 그리는 좌표 등도 한때는 전문가들조차 이해할 수 없는 복잡한 이론이었다. 페르마, 뉴턴, 아인슈타인은 물론, 지금 잘 알지 못하는 현대 수학 이론들도 언젠가는 자연스럽게 떠올리는 상식이 될 것이다. 결국 인간은 ‘수학적 사고’를 하는 존재이기 때문이다.
한국인 최초 옥스퍼드 대학 정교수이자 세계적인 수학자 김민형 교수. 그가 인간의 사고 능력과 우주에 대한 탐구를 총 7개의 강의를 통해 풀어냈다. 《수학이 필요한 순간》은 현대 수학의 대가가 복잡하고 어려운 수학의 세계를 누구나 이해할 수 있는 상식적인 언어로 설명한 놀라운 작업이다. 이 책을 통해 우리는 인간이 우주를 이해하는 법도, 윤리적인 판단까지도 수학적 사고를 바탕으로 하고 있음을 깨닫게 된다. 더 깊게 생각하는 데서 오는 짜릿하고 매력적인 희열에 빠지게 될 것이다.

■ 세계적인 수학자 김민형 교수가 전하는 아름다운 수학의 세계
_인간의 놀라운 사고 능력과 수학에 관한 7개의 강의


17세기에 발명된 확률 이론은 한때는 전문가들조차 이해할 수 없는 복잡한 수학 이론이었지만 지금은 누구나 ‘37%의 비 올 확률’을 읽고 이해할 수 있다. 세상을 관찰하며 떠오른 직관은 정교하게 다듬어져 하나의 이론이 되고, 이는 점차 널리 활용되며 많은 사람들의 상식이 되었다. 세계적인 수학자 김민형 옥스퍼드대 교수는 이런 과정이 수세기 동안 거듭되고 축적되면서 인간의 사고 능력은 끊임없이 확장하고 있으며, 이러한 경향은 더욱 가속화될 것이라고 말한다. 지금은 우리에게 아주 복잡한 현대 수학이론들도 머지않아 누구나 자연스럽게 떠올리는 상식이 된다는 것이다.
김민형 교수의 신간《수학이 필요한 순간》은 인간의 사고 능력을 확장시켜온 수학이라는 장대한 세계에 관한 7개의 명강의를 담고 있다. 기본적인 수학의 원리부터 정보와 우주에 대한 이해, 윤리적인 판단이나 이성과의 만남 같은 사회문화적인 주제에 이르기까지 세상 모든 순간을 이해하는 데 바탕이 되는 수학적 사고의 정수를 만날 수 있다. 그가 진행한 다양한 대중 강연의 내용을 포함하여 1년여에 걸쳐 진행된 강의를 총망라한 이 책은 이 시대에 필요한 수학적 사고에 관한 깊은 탐구와 메시지를 오롯이 담고 있다. 마치 강의실에 앉아 있는 듯 질문과 답으로 구성된 이 책을 따라 차근차근 생각의 온도를 높여가다 보면, 어느덧 수학의 매력에 푹 빠져 있는 자신을 발견하게 된다. 노벨 경제학상을 받은 게일 섀플리 이론이나 애로의 불가능성의 정리, 오일러의 수나 내면 기하처럼 물리학과 수학의 경계를 넘나드는 현대 수학의 개념들까지도 상식적인 언어만으로 쓰여 있어 누구든 끝까지 읽어나갈 수 있다.

■ 인간은 얼마나 깊이 생각할 수 있는가?
_일상부터 우주에 대한 탐구까지 ‘수학이 필요한 순간들’


‘수포자’에게 수학은 늘 두려운 존재다. 하지만 수학을 못하는 사람도, 이미 누구나 ‘수학적 사고’를 하고 있다. 수학적 사고란 인간이 세계를 사고하는 가장 기본적이고 근본적인 능력이기 때문이다.《수학이 필요한 순간》은 우리 안의 수학적 사고를 발견하게 만드는 책이다. 이 책에 의하면 수학은 우리가 모르는 것이 무엇인지 정확하게 질문을 던지고 그에 필요한 개념적 도구를 만들어가는 과정이다. “빛은 어떻게 이동하는가?”라는 17세기의 과학자 페르마의 질문이 몇백 년에 걸쳐 뉴턴의 운동법칙, 아인슈타인의 상대성이론으로 발전한 것처럼, 수학의 질문은 수 세기를 이어가며 세상을 탐구해간다.(2장, ‘역사를 바꾼 3가지 수학적 발견’ 중에서)
우리가 인문학의 문제라 여겼던 윤리적 판단에서부터 우주의 무한한 세계에 이르기까지 인간이 세상을 이해하는 데 수학이 필요하지 않은 순간이란 없다. 예를 들어 철학 영역이라 알려진 트롤리 문제, “망가진 자동차에서 누구를 살릴 것인가?”는 현재 MIT에서 자율주행 자동차에 들어갈 프로그램을 제작하기 위한 게임으로도 활용되고 있다. 피실험자들이 위험한 상황 앞에서 내릴 ‘윤리적인 판단’을 확률 데이터, 즉 수학적인 문제로 만들고 있는 것이다(4강 ‘확률론의 선과 악’). 이는 과학기술이 윤리적으로 사용되는가의 쟁점에서 더 나아가 다가올 미래에는 인간의 윤리 자체가 확률의 문제가 될 수 있음을 시사한다.
시공간과 우주에 대한 근본적인 이해 역시 수학이 없이는 가능하지 않다. 중력은 우주가 휘어졌기 때문에 발생한다는 물리학의 기본 가정은 ‘내면기하’라는 수학적 개념 없이는 설명할 수 없으며, 양자장론이나 초끈이론처럼 최신 물리학의 연구는 우주에 존재하는 수학적 구조를 발견하는 과정과 다름없다.(6강, 우주의 실체 모양과 위상과 계산) 이처럼 현대 수학이 이룩한 주요한 발견과 증명은 우리로 하여금 기존의 세계관과 통념을 뛰어넘으며 자연과 우주에 관해 불가능한 것을 상상하도록 만든다.

■ 생각의 근육을 키우다
_포기하지 않고 더 깊이 사고하게 만드는 수학의 힘


꼭 수학이 아니더라도, 문제를 사고하는 과정에 조금이라도 부하가 걸리거나 오답을 마주하면 사람들은 이를 포기하거나 건너뛰고 싶어 한다. 하지만 수학의 역사에서 중요한 계기는 오히려 답이 틀렸거나 없는 상황일 때 더 많이 일어났다. 4강 ‘답이 없어도 좋다’는 ‘민주주의란 무엇인가?’라는 질문으로 시작한다. 대표자를 선출하는 방법에는 수십 가지가 있지만 그 어떤 것도 완벽할 순 없다. 하지만 수없이 많은 사회문화적 고려사항과 현실적 딜레마에도 불구하고 제한적인 조건에서 문제를 이해하고 적당한 답의 틀을 만들 때 오히려 문제의 본질에 다가설 수 있게 된다. 수학의 힘은 여기에 있다. 답에 가까워지는 과정이나 혹은 답이 없는 순간에도 포기하지 않고 더 깊이 이성적으로 사고하게 만드는 것이다.
이러한 수학적 방법론은 자연과학이나 공학뿐 아니라 사회학이나 경제학, 인문학과 예술에 이르기까지 자연스럽게 활용되고 있다. 예를 들어 이 책의 5강 ‘답이 있을 때 찾을 수 있는가’에서 소개하는 2012년 노벨 경제학상을 수상한 게일-섀플리 이론은 애초에 두 명의 수학자가 ‘수학적 사고란 무엇인가’를 알려주기 위해 수학 교육 저널에 게재한 논문이었다. 각각의 남녀 100명 모두가 안정적인 짝을 지을 수 있는가?라는 설정으로 시작하는 이 이론은 수학적 사고란 멀리 있는 것이 아니라, 사람의 마음처럼 답이 없을 것 같은 문제조차 더욱 명료하게 만들어나가는 과정에 있음을 깨닫게 만든다. 이 책을 읽다가 문득 고개를 들었을 때 우리를 둘러싼 세상이 조금 다르게 보인다면 이는 수학적 사고에 가까워지고 있는 신호일 것이다.

■ 수학이 필요한 시대, 문과생·기업 임원·발레리나도 푹 빠져든 지적 즐거움

빅데이터나 머신러닝 등이 일상이 된 첨단 정보과학의 시대, 수많은 정보를 논리적으로 처리하고 문제를 해결하는 능력이 더욱 중요해지면서 수학적 사고는 개인과 기업이 지녀야 할 필수적인 능력으로 각광받고 있다. 이러한 가운데 김민형 교수는 수학 대중화에 앞장서는 대표주자로서 방한할 때마다 다양한 대중을 대상으로 수학 강의를 펼치고 있다. 천 명의 유료 객석이 매진된 수학콘서트 K.A.O.S를 비롯하여 네이버커넥트재단 등 김민형 교수의 강연장을 가득 채운 방청객은 초등학교 수학영재에서부터 직장인, 대기업 임원, 심지어 중학생 발레 전공자까지 다채롭다. 이들은 복잡한 내용의 수학을 ‘공부’하는 것이 아니라 자연스럽게 ‘이해’될 수 있다는 점에 하나같이 감탄하며 수학의 매력에 푹 빠져든다. 더 천천히 쉬운 말로 설명하는 것 같지만 더 깊게 끝까지 생각하게 만드는 그의 강의 방식 덕분이다.
이 책은 옥스퍼드 수학과의 명강의를 포함하여 김민형 교수가 한국에서 진행한 각종 수학 강의의 내용을 바탕으로 탄생했다. 마치 강연의 현장에 찾아온 듯 수학에 대해 묻고 답하는 세밀한 대화로 가득하다. 평소 셰익스피어와 쇼팽을 사랑하며 물리학, 뇌과학, 인문학 등 학문 분야를 넘어 해박한 지식을 지닌 그는 스스로 “수학을 하기보다 수학에 대해 생각하는 것을 즐긴다”고 일컫는다. 그런 그가 수학이라는 방대한 세계에 대해 평생을 걸쳐 탐구해온 주제를 이 책에 오롯이 녹여냈다. 이 책을 읽는 독자들이 수학적으로 세상을 바라보는 기쁨, 깊고 넓은 시야로 세상을 읽어내는 그 순수한 지적 즐거움을 만끽할 수 있기를 바란다.

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책 속 한 문장

회원리뷰

  • 다시, 수학이 필요한 순간!! 수학하면 학창시절에 별로 떠올리고 싶지 않는 어찌보면 흑역사인데 나이가 들고...


    다시, 수학이 필요한 순간!!

    수학하면 학창시절에 별로 떠올리고 싶지 않는 어찌보면 흑역사인데

    나이가 들고 아이를 키우다보니 수학의 중요성 그리고 수학이란 학문에 대해서

    다시 한번 생각하는 계기가 되더라구요~

    나와는 다르게 수학을 좋아하는 아이가 신기하기도하고 대견하기도한데~

    아이가 수학을 그냥 문제 풀고 시험을 잘보는 그런 수학도 좋지만

    수학의 역사나 근본 그 심오한 무언가도 알아갈수 있었으면 좋겠다는 생각을 해보네요~

    수학은 모든 학문의 기본이고 아주 오래전부터 많은 사람들은 질문들 그리고 생각들로 인해

    세상은 변화해하고 수학도 발전하게되게 된것 같아요~

    요즘 4차 산업혁명이니 AI 인공지능 시대니 이런 말을 자주 듣고는 하는데

    그 중심에서 수학 그리고 과학이란 학문이 바탕이 되는것같아요~

    미래로 나아가기 위해서 더 발전해 나가기 위해서는 수학에 대해서 더 많이 알고

    논리적으로 그리고 수학적인 사고로 세상을 바라볼수 있었으면 좋겠다는 생각이 드네요~

    물론 지금 책을 읽는 순간에도 수학은 조금 어렵고 낯설기도 하지만

    학창 시절때처럼 시험에 대한 부담도 없어서 인지 어려운 내용이지만 좀 더 편하게 읽어볼수 있었네요~

    책에 처음에 김민형교수와 함께하는 여름수학학교에서 중학생, 고등학생, 프로그래머, 취준생, 수학교사, 신문사 편집장,미술가

    다양한 분야에 있는 사람들이 모여 세미나를 열었는데 그들이 수학을 다시금 바라보고 배우는 과정에서

    수학에 대한 넓은 시야와 깊은 지적 쾌감을 맛보는 기회를 가질수 있었는데

    나또한 세미나에는 참석하지 못했지만 책을 통해서 하나라도 알아서 내가 이걸 알게 되었구나하고

    지적 호기심을 해결하고 성취감을 맛볼수 있는 시간이 되었네요~

    그리고 가제본본은 처음 받아보는건데 책이 이렇게 탄생하는구나 라고 생각하고~

    이 책이 어떻게 달라져서 출간될지도 궁금하기도 하고 새로운 경험이고 신기하네요~

    수학이 필요한 순간!! 살면서 학창 시절 외웠던 수학공식을 적용해야하는 일은 많지 않지만

    수학적인 사고를 요하는 일들은 너무나도 많은데~ 흑역사에서 벗어나 수학을 다른 눈으로 바라볼수 있는

    기회를 갖은것같아서 뿌듯한 시간이었네요~

     

     

  • 수학이 필요한 순간 | ch**425 | 2020.07.31 | 5점 만점에 3점 | 추천:0
    2019년 어느 여름 고2학생, 40대 프로그래머, 20대 취업 준비생, 30대 고등학교 수학교사, 50대 신문사 편집장, 4...

    2019년 어느 여름 고2학생, 40대 프로그래머, 20대 취업 준비생, 30대 고등학교 수학교사, 50대 신문사 편집장, 40대 미술가 그리고 중3학생까지 총 일곱 사람이 모여 김민형 교수와 함께 약 두 달에 걸쳐 일반인을 대상으로 하는 수학 세미나 여름 수학 학교를 개최한다.

    무더운 날씨에도 불구하고 다양한 연령대와 직업을 가진 스스로를 수포자라 불렀던 일곱 분과 수학이라는 주제를 가지고 서로 질문하고 담론하는 과정에서 수학이란 무엇인가?’ 라는 질문에 그 답을 찾아가는 과정을 통해 참여자 스스로 수학에 대한 개념을 정립하고 다양한 주제와 관점을 가지고 서로 이야기 나눔으로써 그 답을 찾아가는 과정을 이 책에서는 소개하고 있다.

     

    이 책을 통해 기억에서 사라졌던 수학의 공식들이 완전하진 않지만 기억이 되살아나는 부분도 있고 불혹을 넘겨 지천명이 가까 오면서 솔직히 나에게는 아련하게만 떠오르는 기억들이 많았다. 하지만 이 책을 읽어보면서 기억을 더듬어보기도 하고 다시 학창시절로 돌아가 수학에 대한 깊은 개념을 이해해보고자 천천히 기억을 더듬어 노력을 하였다.

        

    이 책에서는 지오지브라라는 수학 프로그램을 활용한 바비뇽의 정리실험, 중학교 때 배운 피타고라스의 정리도 다시 복습해보고, 미적분에 기원과 개념 그리고 물리적 현상과 수학적 정의에 대한 탐구도 참가자들과의 대화 속에서 질문과 답변을 통해 이 책에서 소개되고 있다.

     

    수학의 역사와 정의나 개념, 공식 정리, 수학적 사고와 논리적 사고의 중요성 등 많은 이야기들을 소개하고 있지만 솔직히 나에게는 수학의 역사와 관련 된 부분이 흥미로웠고,

    이제 중1학년인 둘째에게 읽어보라고 권하였는데 조금은 어렵다고 하였고 중3학년 첫째아이는 흥미롭게 읽었다고 책의 느낀 점을 말해주었다.

    중학생 이상이면 누구나 어렵지 않게 읽을 수 있을 것 같다,

     

    마지막으로 이 책을 통해 수는 어떻게 생겨나고’ ‘어떻게 시작되었을까부터 보이는 수보이지 않는 수를 통해 진짜 수학에 대한 발견을 할 수 있을 것이다.

     

    다시, 수학이 필요한 순간을 기대하면서

    인생의 삶에 있어 수학과는 거리가 멀수있겠지만 나 자신을 되돌아보며 삶을 살아가면서 어떤 문제에 부딛혔을 때 감정적이기 보다 수학적 사고와 논리적 사고를 통한 객관적이고 합리적인 사고를 할 수 있도록 노력하는 삶을 살아보고자 한다

  • 다시, 수학이 필요한 순간 | bo**82 | 2020.07.31 | 5점 만점에 5점 | 추천:0
    ‘다시’라는 말은 과거에 ‘일어났었던 일’을 기본 전제로 하는 말이다. 그렇다면 이 책 제목으로 봤을 때, 수학...

    다시라는 말은 과거에 일어났었던 일을 기본 전제로 하는 말이다.

    그렇다면 이 책 제목으로 봤을 때, 수학은 우리에게 필요한 순간이 있었다는 말이다.

    우리에게 수학이 언제 필요했었나 생각해본다.

     

    수학이 없었다면 지금의 세상이 어떻게 됐을까?

    상상조차 못할 일이다.

    지금 누리는 오만가지의 기술적 문명은 당연히 없었을 것이다.

    그리고 얼마나 답답했을까?

    예를 들어 거리나 무게와 같은 것들의 규정이 없다면 내가 어떤 사물에 대해 타인에게 설명해야 할 때 도대체 어떤 방법으로 전달할 수 있을까?

    또한 수학이 의료기술을 발전시켜서 인간의 수명을 연장한 것은 말할 것도 없다.

     

    이 책은 수학이란 무엇인가로 시작해 수학이 필요한가로 이어지는 수학에 대한 이야기를 들려준다.

    개인적으로 나는 학교에서 수학을 배울 때 보다 일상생활에서 훨씬 더 자주 수학의 필요성을 느낀다.

    학교 다닐 때 수학 좀 열심히 배워둘걸 하면서 후회할 때도 종종있다.

    그렇다면 왜 학교에 다닐 때에는 수학이라는 것이 어렵고, 싫은 과목으로만 느껴졌을까?

    추측컨대 학교에서 가르치는 수학은 예나 지금이나 수학이라는 학문이 정확하게 무엇이고, 왜 수학을 배워야 하며, 수학이 얼마나 일상생활에 유용하게 쓰이는지에 대해 깊이 있게 다루어지지 않기 때문이라고 생각한다.

    얼마나 많은 공식을 잘 외워서, 얼마나 빨리 문제를 틀리지 않고 푸는가에만 초점이 맞추어진 현 교육에서는 수학의 진가를 제대로 알고 새로운 공식을 발견하려는 탐구정신이 발현되기 힘들다.

    이 책은 수학을 단지 공부로써만 생각하지 말고, 우리 생활에 꼭 필요한 학문이라는 점을 되새겨보는 기회를 마련해 줄 수 있다는 점에서 의미가 있다.

    그리고 더 나아가서 좀 더 수학에 흥미를 가지는 계기를 마련해 준다.

    저자는 공식 하나 나올 때마다 판매량은 반으로 줄어든다는 출판사의 지적 때문에 공식을 하나도 안 넣기로 했다는 그 유명한 스티븐 호킹의 시간의 역사를 보면서 오히려 공식이 없어서 답답함을 느꼈다고 한다.

    그래서 과감하게도 이 책에는 많은 공식이 등장해서 독자들을 고생시킨다.

    특히 저자의 말처럼 7장은 한탄이 절로 나온다.

    얼핏 보면 저자의 거만으로 비춰질 수도 있는데 사실은 계산 없이 자신의 뜻을 표현 할 수 있을 만큼 자신의 생각이 명료하지 못하기 때문이라고 밝혔다.

     

    이번에 가제본 다시, 수학이 필요한 순간을 받아 읽으면서 북디자인이 독자들에게 얼마나 유용한지 느끼게 되었다.

    무엇보다 내용에 집중력이 현저히 떨어짐을 느낄 수 있었다.

    이 책이 수학적 언어에 대한 흥미와 이해도를 높일 수 있는 디자인의 멋진 책으로 독자들에게 가닿기를 바라본다.

  • 다시 수학이 필요한 순간 | ki**al99 | 2020.07.27 | 5점 만점에 4점 | 추천:0
    ϻ   ...

    ϻ

     

    반은 수포자입니다. 왜 반이냐면 재수시절에 모의고사 문제는 그래도 보고 오답노트도 썼던 기억이 납니다. 나름 이과였는데 수학을 못하고, 싫어해서 문과로 그리고 언어관련 학과로 합격했습니다. 그런데 살아가다보니 수학이 필요하게 되는 때가 많습니다. 급기야 아이가 중학교에 들어가니 나보다 아이를 위해 수학이 왜 필요한지 설명하고 싶어지는 마당에 이 책이 눈에 띄었습니다.

     

    이 책은 세미나에서 이뤄어진 내용을 바탕으로 만들어졌습니다. 참가자의 성격을 보고 굉장히 흥미있었습니다. 중학교 3학년생부터 50대 수학 외면자 편집장까지 정말 다양한 계층입니다. 수학교사도 있지만 예술가도 있습니다.

    사진 설명을 입력하세요.

    이번 책은 좀 색다릅니다. 가제본이라고 합니다. 태어나서 처음으로 가제본을 받아봤습니다. 처음 받아 본 느낌은 그 뭐랄까 남들이 전혀 밟지 않은 눈밭을 제가 처음으로 걸어간다고 할까요. 혼자만의 특권이라 괜히 착각하고 읽었습니다. 이과생중에는 수학점수가 낮다는 학생도 생각보다 있었습니다. 그리고 50대 편집장의 말 문제를 못 풀어도 수학적 사고는 가능한가?라는 질문에 저도 같이 물어보고 싶었습니다. 1챕터의 제목도 나름 재미있었습니다. "수의 위기" 왠지 저에게 하는 말인듯.

     

    역시 수학책입니다. 피타고라스의 정리가 나옵니다.머리가 아프지만 그냥 읽어봤습니다. 피타고라스의 정리는 내가 아는 한 그림으로 이해하는게 편했습니다. 그냥 눈으로 보면 그럴거 같다라는 직관적 느낌이 들었기 때문입니다. 그러나 컴퓨터는 실제 그림을 볼 수 없습니다! 그래서 '수'라는 정보로 바꿔어야 컴퓨터는 처리할 수 있습니다. 바리뇽의 정리는 처음 듣는 말인데, 수학을 잘 못하는 저도 어느 정도 따라가면서 읽었습니다. 그런데 이 게 사실은 증명 혹은 정리가 된지 얼마 안된 것이라는 사실이 더 놀라웠습니다.

     

    제가 이 책을 읽은 의도가 제 자녀를 위한 부분이 더 많았습니다. 그래서 중간에 꽂힌 부분이 아래와 같습니다.

     

    보통 우리 교육과정에 대해 얘기할 때 '산수'만 할 줄 알고 '수학'은 못한다고 비판하곤 합니다. 수학이 마치 더 우월한 과정인 것처럼요.

    출처 입력

    이 말은 아마 세미나에 듣고 있는 참가자가 했던 것 같습니다. 사실 저런 비슷한 말을 들었었고, 저도 그렇게 생각한 적이 있습니다. 아마도 국민학교 시절 '산수'에서 중학교로 가면서 '수학'이라고 과목명을 사용해서 그런 것이 아닐까 예상해 봅니다. 처음에는 '수학'이 한자어라서라고 생각했지만 '산수'도 한자어인데 왜 그런 생각을 갖게 된 것일까요? 고등학교 어려운 수학은 못해도 산수만 할 줄 알면 우리가 살아가는데 지장없어라는 뉘앙스의 말을 많이 듣습니다. 그러나 저자는 산수와 수학의 구분은 모호하다고 말합니다.

     

    기계적으로 문제를 풀어 계산을 효율적으로 하는 능력도 수학에서는 굉장히 중요한 능력입니다. 우리가 일상 속에서 어떤 활동을 하든 스스로 고상하게 성찰하는 시간도 중요하지만, 별 생각 없이 연습하는 시간도 당연히 중요합니다. 만약 농구 같은 운동을 한다고 생각해보셍. 농구선수가 되려면 감독의 지시 외에도 내가 왜 이 동작을 해야 하는가 생각하고 전략적으로 움직이는 시간도 필요하지만, 아무 생각없이 몸에 익히기 위해 연습하는 시간도 매우 중요합니다.

    출처 입력

    어쩌면 단순반복하는 연습 속에서 수학적 몸놀이같은 느낌으로 스며드는 것이 아닌가 합니다. 여러 학습지 중에서 드릴 연습을 중점으로 하는 학습지가 있는데, 다 쓸모가 있다는 결론이네요. 꼭 그 학습지가 아니더라도 비슷한 문제를 반복 연습하기 위한 과정이 필요하네요.

     

    사실 이 책은 저에게는 좀 버겁습니다. 오히려 이 책을 읽고, <수학이 필요한 순간> 책을 읽어 봐야겠습니다.

     

     

     

     

     

     

  • 다시, 수학이 필요한 순간 | ge**ct | 2020.07.26 | 5점 만점에 5점 | 추천:0
    수학이란 무엇인가. 이 책의 프롤로그 제목이다. 나는 학창시절부터 지금까지 수학을 하고 있는 사람으로서 학생들에게 수학이 어떤...

    수학이란 무엇인가. 이 책의 프롤로그 제목이다. 나는 학창시절부터 지금까지 수학을 하고 있는 사람으로서 학생들에게 수학이 어떤 의미인지에 대해 물어본 적은 많지만 아이러니하게도 나 자신이 수학을 어떻게 생각하는지, 수학이 과연 무엇인지에 대해 생각해본 적은 없는 것 같다. 나는, 수학을 싫어하는 사람들이 들으면 이상하게 들릴지 모르겠지만, 학창시절에는 하루를 꼬박 할애하여 힘겹게 푼 문제가 정답지와 맞아떨어졌을 때의 짜릿함이 즐거웠고, 전공수학을 공부하면서는 학창시절 당연하게 생각했던 개념들의 이유와 기저를 파헤치는 게 즐거웠다. 나같이 말주변 없고 글을 좋아하는 사람에게 수학은 ‘왜’라는 질문에 대한 명쾌한 해답이자 또 다른 세계의 언어처럼 다가왔다. 5세인 첫째 딸이 요즘 나에게 가장 많이 하는 말 중의 하나가 ‘왜?’이다. 어렸을 때는 궁금한 거 투성이다. 점점 나이를 먹으면서 ‘왜’라는 질문을 하지 않게 된다. 부끄럽지만 학교 시스템이나 수업 분위기의 문제일 수도 있다. 어쨌든 호기심은 어른이 되면서 사라진다. 그런 의미에서 수학은 나를 호기심 왕성한 아이로 되돌려놓는 기분이 든다. 하나의 사실을 증명하기 위해 꼬리에 꼬리를 물고 단계를 앞으로 거슬러 올라가는 작업은 마치 인류의 역사이자 철학 같은 느낌도 들었다. 


    프롤로그에는 ‘바라뇽의 정리’가 등장한다. ‘지오지브라’라는 수학 프로그램을 이용하여 바라뇽의 정리가 성립하는 이유를 부드럽게 증명하고 있다. 그런데 정리가 성립하는 이유를 계속 캐내어 계속 기저로 들어가다보면 더이상 증명하기 힘들 것 같은 ‘공리’에까지 도달하게 된다. 그 과정에서 무엇을 공리로 할 것인지 합의를 거치기도 하고 바라뇽의 정리를 물질(사각형)에 대한 명제로 해석하여 물리학으로 사고를 넓혀 생각할 수도 있다. 

    물리에서 빠질 수 없는 수학의 한 분야는 ‘기하’다. 1강에서는 ‘수의 위기’를 이야기하면서 기하에 대한 이야기가 첫 페이지에 등장한다. 피타고라스의 전설이 등장한 시기 이후 기하학에서 수의 개념이 시작되었는데, ‘아르키메데스의 정리’ 논문에는 원의 넓이, 구의 표면적 구하는 과정이 등장하지만 이 당시에는 수가 없었기 때문에 우리가 익히 아는 원 넓이 식인 원주율과 반지름 제곱의 곱 형태가 등장하지 않는다. 모두 그림으로 표현되고 있다. 여기서부터 적분의 기원이 시작된다. 현재 2015 개정교육과정에는 구분구적법이 적분을 가르치는 과정에서 빠져 있는데 학습부담을 줄이기 위한 조치인지는 모르겠으나 개인적으로는 안타깝게 생각한다. 이 책에서는 원의 외접, 내접하는 정n각형에서 n이 무한히 커질 때 정n각형의 넓이가 원의 넓이에 근사함을 이용하여 원 넓이를 추론하는 증명을 통해 무한 이야기로 자연스럽게 나아간다. 실무한이 직관적으로 받아들여지기 어렵다는 것과 그 한계의 극복에 관하여 무한급수 이야기로 확장되고 다시 이야기는 기하로 돌아온다. 교과서에 없는, 그러나 중요하고 재미있는 이야기를 만날 수 있다.

    2강부터는 수학의 기반에 대한 이야기를 다룬다. 집합과 논리, 그리고 3강에서 알고리즘에 대한 이야기로 넘어가면서 알고리즘과 힐베르트의 10번 문제에 대한 이야기를 다룬다. 개인적으로 가장 공감했던 부분이 있다. 첫째는 수학과 산수에 경계선을 짓지 말자는 것 즉, 기계적으로 문제를 풀어 계산을 효율적으로 하는 능력도 수학에서는 굉장히 중요하다는 것이고, 둘째는 수학교육에 관하여 ‘이렇게 해야 한다’는 특별한 솔루션을 내놓는 방법은 거의 믿지 않는다는 저자의 말이다. 학교에서 배우는 수학이 이렇게 재미있으면 얼마나 좋을까 하는 말에 대해, 학교에서 어느 정도 배운 내용이기에 안면도가 있어서 재미있게 느낄 수 있다는 김민형 교수님의 말에 십분 공감한다. 

    4강은 수학의 파운데이션을 파헤치려는 노력을 구체화하는 부분이다. 논리적 사고와 수학적 사고에 대해 다루는데 논리표라고 일컬어지는, 일종의 게임 규칙 같은 느낌을 들게 하는 부분이다. 논리적 사고를 기르는데 가장 핵심적인 부분이다.

    전작 ‘수학이 필요한 순간’에서 확률, 이산수학, 위상수학의 영역을 위주로 다루고 있다면 이번 책은 대수와 집합론, 그리고 이러한 다양한 대수-기하, 수학-물리 등 다른 듯 보이는 수학 내적, 외적분야의 연결성을 위주로 다루고 있다. 책을 읽다 보면 결국 수학이란 나에게 어떤 의미인가로 귀결된다. 수학은 인간의 호기심에 대한 가장 근원적인 해답을 제공한다고 생각한다. 반드시 어딘가에 필요해서 수학을 배우는 것이 아니라 수학 그 자체로도 충분히 재미있을 수 있음을 다시 한 번 느끼게 해주는 책이다. 수학은 독단적인 아집을 부리는 학문이 아니다. 대수와 기하는 서로 유연하게 연결되어 있고 수학적 사고가 물리적 사고와 연결되는 경우도 많다. 그리 어렵지 않게 수학을 풀어내고 있어서 수학을 공부하는 학생 뿐만 아니라 수학교사, 학부모 등 수학을 공부하고 싶어하는 모든 사람들에게 권한다. 단, 어느 정도 기본 수학 지식이 있는 경우면 더 흥미롭게 읽을 수 있을 것 같다.

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